Le paradoxe des deux enfants est contre-intuitif

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Les probabilités sont parfois trompeuses et le paradoxe des deux enfants en est une illustration. Ainsi, si un couple a 2 enfants dont une fille, quelle est la probabilité que l’autre enfant soit un garçon ? Certains répondront 50% (car à la naissance il y a une chance sur 2 qu’il soit d’un sexe ou de l’autre), mais la bonne réponse est de 2 sur 3 (66%).

En effet, la probabilité se définit comme le nombre de cas favorables divisé par le nombre de cas possibles. Ici, les cas possibles sont FF, FG et GF (F pour fille et G pour garçon). Le cas GG (2 garçons) est exclu puisqu’on sait qu’il y a au moins une fille. Il y a donc 2 combinaisons sur 3 avec un garçon.


Tous les commentaires (138)

En fait la question est juste mal posé parceque si on veut que la reponse soit 50% fallait dire : quel est la chance que lautre enfant soit un garcon ? Cad que notre cardinal ne contiendrait que F ou G d'ou 50% et pour 66% il fallait posser la question : quel est la change dobtenir 1G sachant quil ya une F et en TENANT COMPTE DE L'ordre pour quon ait au final 3 choix FG GF FF et pas 2 FG OU FF . Je ne.pense pas que ca soit un bon exemple pour le theoreme

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Le cas GF ici n'est pas possible vu que l'aîné est une fille, de toute façon cette histoire de 66%, c'est seleument pour les couples qui veulent avoir 2 enfants (pas plus, pas moins) sans parler des jumeaux, triplé....

la clef est que ce n'est pas la meme chose de faire un tirage de deux element d'un coup puis exclure certains cas et de faire un tirage, observer que c'est une fille, puis faire un deuxieme tirage.

a écrit : Je trouve l'énoncé du problème intellectuellement malhonnête. Il joue sur des notions qui sont floues pour la plupart des gens, notamment entre la notion de probabilité et la notion de fréquence d'occurrence d'un événement. Il y a une chance sur deux que le deuxième enfant soit un garçon mais la probabilité que ce soit un garçon est de 66% (dans les conditions du problème).
D'ailleurs les probabilités n'ont de valeurs que sur les grandes séries...
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justement, ici on imagine qu'on a deux enfants d'un coups (4 cas possible) puis qu'on observe le sexe de l'un des deux (ce qui rend un cas impossible), donc on garde trois cas equiprobable dont deux sont equivalent.

Celui qui a posté ça n'a pas compris les proba...

"Ici, les cas possibles sont FF, FG et GF (F pour fille et G pour garçon). Le cas GG (2 garçons) est exclu puisqu’on sait qu’il y a au moins une fille. Il y a donc 2 combinaisons sur 3 avec un garçon."

SAUF QUE NON ! Les seules possibilités sont FF et FG, car on ne peut pas avoir GF (comme GG) puisque le premier est déjà une fille... On tombe donc sur 50%. Et encore , la gestion de l'ordre est WTF... FG et GF ne serait pas pareil => gestion de l'ordre (fille en 1er ou garçon en 1er) mais l'ordre des filles ou des garçon n'en n'aurait pas (F1+F2 devraient différent de F2+F1...). Non, vraiment on est dans le "Gala" là.

Et lisez la source de Wikipedia pour comprendre l'anecdote n'a aucun sens. il suffit de lire la partie "Critique".

a écrit : L’énoncé n’est pas correct car il ne prend pas en compte que les deux événements sont indépendants ;) donc c’est bien 50% Les 2 événement ne sont pas indépendants! On te demande une proba sachant une variable!
Ton ensemble n est plus GG FF GF FG mais FF GF FG car dans l énoncé on te dit qu ils ont obligatoirement une fille!
Edit: en fait je veux dire que pour nous qui faisons le problème il n y a qu un seul événement. Le reste te désigne ton ensemble!

Sauf qu'il n'est dit nul part que le premier est une fille.
Donc bon...

a écrit : Ah bon je savais pas que j'avais écris qu'il avait autant de chance d'être droitier que gaucher... Encore une personne qui répond sans même avoir lu le commentaire ... Bravo ! et comme tu le répète dans ton commentaire le nombre d'hommes et femmes ne sont pas identique...donc ne commence pas ton commentaire par "non" alors que tu vas dans le même sens ... s'il y a plus homme que de femme comme tu dis, il y a plus de chance d'être XY que XX et pas 50% Bref encore un qui confond absolument tout... Afficher tout 1) Ok, il n'y a pas exactement la même chance de naitre homme ou femme. Ceci étant dit, la moyenne tourne tout de même autour de 50%. Tout les calculs ne sont donc pas faux, puisque le paradoxe s'illustre ici simplement par un exemple idéal. Il aurait peut-etre été plus juste de dire "sachant qu'il y a 50% de chance d'avoir une fille ou un garcon", mais l'idée me semble quand même assez clair.
2) Ceci étant dit, on peut noter que le paradoxe tient même si les chances d'avoir un garcon ou une fille ne sont pas de 50/50. Certes, les résultats seront différent, mais dans la situation ou un couple te dit qu'il a au moins une fille parmi ses deux enfants, il vaut mieux parier que l'autre est un garcon même si la probabilité absolue d'avoir un garcon descendait aussi bas que 1/3 ! (bon, en fait à 1/3 d'avoir un garcon à la naissance dans l'absolue, et dans la situation décrite ici, il serait strictement équivalent de parier que c'est un garcon ou une fille, mais l'idée est la). On peut trouver se résultat en faisant l'arbre des probabilités. Or, je pense que tout le monde admettra que si la proportion n'est pas de 50/50, elle ne s'en éloigne pas pour descendre jusqu'à du 33/67. Le paradoxe, en plus d'etre aisé à illustrer dans un monde parfait avec du 50/50, tient donc aussi dans notre monde réel.
3) Il peut y avoir plus d'homme que de femme pour des raisons de mortalité différente, et pas forcément parce que la proportion de XX/XY n'est pas la même. En outre, à l'inverse, il peut y avoir une asymétrie à la naissance qui est compensé dans les premières années, faisant que passer un certain age, la proportion serait différente de celles à la naissance (qui pourrait elle même etre différente de celle de la conception). Ceci étant dit, on s'éloigne un peu du sujet ici !

a écrit : Désolé Nonoyoh mais je pense que tu as tout compris à l'envers (c'était pas une super canon ta prof de statistiques, qu'elle t'a mélangé les neurones...)
Les statistiques comme les probabilités ne peuvent pas changer la réalité
Rassure moi.
Tu n’es pas à jeun là ?

a écrit : Celui qui a posté ça n'a pas compris les proba...

"Ici, les cas possibles sont FF, FG et GF (F pour fille et G pour garçon). Le cas GG (2 garçons) est exclu puisqu’on sait qu’il y a au moins une fille. Il y a donc 2 combinaisons sur 3 avec un garçon."

SAUF QUE NON ! Les seul
es possibilités sont FF et FG, car on ne peut pas avoir GF (comme GG) puisque le premier est déjà une fille... On tombe donc sur 50%. Et encore , la gestion de l'ordre est WTF... FG et GF ne serait pas pareil => gestion de l'ordre (fille en 1er ou garçon en 1er) mais l'ordre des filles ou des garçon n'en n'aurait pas (F1+F2 devraient différent de F2+F1...). Non, vraiment on est dans le "Gala" là.

Et lisez la source de Wikipedia pour comprendre l'anecdote n'a aucun sens. il suffit de lire la partie "Critique".
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Tu le fais exprès ou quoi ?
Il y a 52 commentaires qui précisent que l’on ne sait pas si c’est le premier enfant qui est une fille ou pas.
Lis les commentaires avant de poster !

a écrit : Sauf qu'il n'est dit nul part que le premier est une fille.
Donc bon...
C est fait exprès de pas préciser, ca fait partie de l énoncé.
Si tu dis leur aîné est une fille, ton ensemble est encore plus diminué!
-> Plus tu précises dans ton énoncé, plus ton ensemble est diminué. Je te fais 3 exemples en précisant de plus en plus:
- un couple a 2 enfants, quel est la proba qu ils aient 1 garçon? Ton ensemble sera GG FG GF FF (donc 3/4 75%).
- un couple a 2 enfants, quel est la proba qu'ils aient 1 garçon sachant qu'ils ont déjà une fille? Ton ensemble sera GF FG FF (donc 2/3 66%).
- un couple a 2 enfants, quel est la proba qu'ils aient 1 garçon sachant que leur aîné est une fille? Ton ensemble sera FG FF (donc 1/2 50%).

Les gens prennent le fait de dire qu'ils ont une fille comme un événement or ce n est pas le cas, c'est juste une donnée qui va déterminer ton ensemble.

Hors sujet:
C est comme la "logique mathématique" en français... j aime bien demander a mes collègues quel est l inverse de tout. Par exemple, l inverse de tout le monde est là! Pratiquement tout le monde va me dire "personne est là". Et quand je leur dis non ca se traduit comme en math par au moins une personne n'est pas la, on me croit pas...

a écrit : Exemple du paradoxe de Monty Hall.
Pour ceux qui ne comprennent pas trop les statistiques, je vous invite à jeter un oeil sur le net le calcul est systématique et assez simple à comprendre quand on regarde.
Je rajouterai juste ici que la probabilité n'est pas de 66% pour avoir un garçon, mais bien d�
39;avoir une fille et un garçon. Évidemment pour chaque grossesse séparément il y a bel et bien 50% de chances d'avoir l'un ou l'autre. Ça pourrait porter à confusion si certains ne comprennent pas la tournure de l'énoncé :) Afficher tout
Un exemple du jeu du Monthyhall:
omg.numeriforge.com/MontyHall/montyHall.html

C'était une bonne idée de publier une anecdote sur le côté contre-intuitif de certains problèmes de probabilités. Malheureusement, ce n'était pas le bon exemple à donner, vu les critiques que l'on peut faire sur le problème des 2 enfants.
Le problème des 3 coffres aurait sans doute été un meilleur choix, car il n'y a à ma connaissance aucune critique formulée dessus, à condition de formuler l'énoncé correctement. Le problème avec ce problème (ha ha) est que l'énoncé aurait été trop long pour que ça rentre dans une anecdote sur ce site.

a écrit : C est fait exprès de pas préciser, ca fait partie de l énoncé.
Si tu dis leur aîné est une fille, ton ensemble est encore plus diminué!
-> Plus tu précises dans ton énoncé, plus ton ensemble est diminué. Je te fais 3 exemples en précisant de plus en plus:
- un couple a 2 enfants, quel est la proba
qu ils aient 1 garçon? Ton ensemble sera GG FG GF FF (donc 3/4 75%).
- un couple a 2 enfants, quel est la proba qu'ils aient 1 garçon sachant qu'ils ont déjà une fille? Ton ensemble sera GF FG FF (donc 2/3 66%).
- un couple a 2 enfants, quel est la proba qu'ils aient 1 garçon sachant que leur aîné est une fille? Ton ensemble sera FG FF (donc 1/2 50%).

Les gens prennent le fait de dire qu'ils ont une fille comme un événement or ce n est pas le cas, c'est juste une donnée qui va déterminer ton ensemble.

Hors sujet:
C est comme la "logique mathématique" en français... j aime bien demander a mes collègues quel est l inverse de tout. Par exemple, l inverse de tout le monde est là! Pratiquement tout le monde va me dire "personne est là". Et quand je leur dis non ca se traduit comme en math par au moins une personne n'est pas la, on me croit pas...
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Oui j'avais bien compris. Ce commentaire était une réponse à un enieme message d'une personne ayant mal lu l'ennoncé. Je ne sais pas pourquoi mais je n'arrive pas à répondre correctement aux messages quand je suis sur le site mobile.
Merci de ta réponse quand même !

En lisant les commentaires, je vois que l'énoncé n'est pas clair pour tout le monde. Voici donc 2 cas différents donnant des probabilités différentes car les connaissances sont différentes :

Premier cas :
Une famille a 2 enfants. On sait que l'aîné est une fille. Quelle est la probabilité que le second soit un garçon ?
Dans ce cas, effectivement la probabilité est bien 1/2 comme le disent certains commentaires ainsi que la logique. En effet, les 2 possibilités sont FF et FG puisqu'on sait (avec certitude) que le premier enfant est une fille.

Second cas, celui de l'anecdote :
Imaginez une famille de 2 enfants (déjà nés), dont on vous indique que l'un des deux enfants (soit l'aîné soit le cadet, on n'a pas de précision) est une fille. Alors il y a 3 cas de figure possibles : FF, FG et GF. Donc dans 2 cas sur les 3 l'autre enfant est un garçon. La probabilité que l'autre enfant soit un garçon est donc 2/3.

Tout se joue donc sur la nature de l'information donnée : le sexe du 1er enfant ou le sexe d'un enfant (ordre quelconque)
J'espère que l'explication vous aura éclairci.

Le “cas GF” n’est il pas exclu ?
Vu que l’on sait deja que le premier enfant est une fille ?

a écrit : Le “cas GF” n’est il pas exclu ?
Vu que l’on sait deja que le premier enfant est une fille ?
OMG...

a écrit : En fait, dans l’énoncé on dit juste « un couple avec deux enfants dont une fille » sans préciser si c’est l’ainée ou non. On peut donc avoir GF et FG. Si ce n'est pas l'aînée mais qu'on se pose la question du sexe du deuxième ça devient compliqué.