Le paradoxe des deux enfants est contre-intuitif

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Les probabilités sont parfois trompeuses et le paradoxe des deux enfants en est une illustration. Ainsi, si un couple a 2 enfants dont une fille, quelle est la probabilité que l’autre enfant soit un garçon ? Certains répondront 50% (car à la naissance il y a une chance sur 2 qu’il soit d’un sexe ou de l’autre), mais la bonne réponse est de 2 sur 3 (66%).

En effet, la probabilité se définit comme le nombre de cas favorables divisé par le nombre de cas possibles. Ici, les cas possibles sont FF, FG et GF (F pour fille et G pour garçon). Le cas GG (2 garçons) est exclu puisqu’on sait qu’il y a au moins une fille. Il y a donc 2 combinaisons sur 3 avec un garçon.


Tous les commentaires (140)

a écrit : Exemple du paradoxe de Monty Hall.
Pour ceux qui ne comprennent pas trop les statistiques, je vous invite à jeter un oeil sur le net le calcul est systématique et assez simple à comprendre quand on regarde.
Je rajouterai juste ici que la probabilité n'est pas de 66% pour avoir un garçon, mais bien d�
39;avoir une fille et un garçon. Évidemment pour chaque grossesse séparément il y a bel et bien 50% de chances d'avoir l'un ou l'autre. Ça pourrait porter à confusion si certains ne comprennent pas la tournure de l'énoncé :) Afficher tout
Tu paraphrases l'énoncé qui est déjà bien formulé.

Il dit pas non plus que t'as 50% de chances d'être droitier hein !

Pour ceux qui ont envie de se torturer davantage l'esprit, jetez un oeil au paradoxe de Simpson, très bien expliqué par le youtubeur de Science Etonnante youtu.be/vs_Zzf_vL2I

2 enfants dont une fille donc l'autre enfant est un garçon à 100% :)
"dont au moins une fille" aurait été plus juste...

a écrit : C'est une idée assez similaire qui est utilisée pour le "jeu" théorique où l'on a trois portes, une cachant un prix, les autres rien du tout.

On donne au joueur le droit de choisir une porte et on lui révèle une mauvaise porte parmis celles qu'il n'a pas choisi. À ce moment on
lui donne le droit de soit garder le même choix de porte ou de changer pour l'autre porte qui n'a pas été révélée.

Il s'avère qu'a chaque fois, il faut toujours changer son "choix" de porte, car la probabilité que l'autre porte soit la bonne n'est pas 50% mais 66%.

L'idée vient du fait que lors du premier choix, on a 66% de chance de une des autres porte contient le prix (car il y a 3 portes). Lorsque l'on révèle une mauvaise porte (parmis les 2 que l'on a pas choisi) cette probabilité ne change pas, il vaut mieux donc changer de porte.

Désolé pour le hors sujet, ce petit example de probabilité m'avait passionné en cours.
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C'est un exemple utilisé dans la scène d'ouverture du film "Las Vegas 21" si je dis pas de bêtises ;)

a écrit : Bonjour à tous, je consulte régulièrement JMCMB depuis quelques années sans jamais avoir posté de commentaire, mais j'ai ressenti aujourd'hui l'utilité de créer un profil spécialement pour réagir à cette anecdote.

Avant toute chose, je suis docteur en probabilités et je peux vous dire que
j'en connais un rayon sur ce genre de problèmes. Je suis vraiment ravi que les mathématiques soient à l'honneur avec cette anecdote, mais je constate que le problème ne semble pas vraiment compris, ni même bien expliqué dans l'anecdote, pardon l'auteur.

Si un couple a deux enfants, que l'un des deux (l'aîné ou le cadet, on ne sait pas) est une fille, alors il y a effectivement 2 chances sur 3 que l'autre enfant soit un garçon. En revanche, si on sait que c'est l'aîné qui est une fille, alors il y a 1 chance sur 2 que l'autre soit un garçon, idem si on sait que c'est le cadet. Comprenez-vous la subtilité ? Dans le premier cas, on ne connaît pas la position de la fille dans la famille, alors que dans le second cas, on la connaît (aîné ou cadet). Les résultats sont radicalement différents selon les deux formulations très proches (et qui peuvent sembler identiques, à tort, pour un public non initié), et il me semble important de le signaler dans l'anecdote.

En fait je vais m'arrêter là parce que je pourrais écrire au moins 10 pages sur la chose, notamment avec des calculs détaillés mais accessibles, et plus rigoureux que la preuve proposée qui laisse un peu à désirer je trouver, notamment la probabilité se définit ici effectivement comme le nombre de cas favorables divisé par le nombre de cas possibles mais cela n'est vrai que parce que les cas d'origine sont tous équiprobables, c'est-à-dire que FF, FG, GF et GG ont tous une chance 1/4 d'apparaître, si l'on prend l'ordre d'apparition en compte. Bien sûr, j'ai conscience qu'une preuve mathématique rigoureuse n'a pas forcément sa place ici, que ce n'est pas vraiment le propos de l'anecdote, mais essayez tout de même de retenir la bonne chose, en prenant garde à l'énoncé. Si vous voulez plus de détails, faites me signe, je serais vraiment ravi de vous répondre.
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Un commentaire pour mettre tout le monde d'accord...
Merci docteur!

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android

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De l'importance de bien lire l'énoncé

a écrit : C'est un exemple utilisé dans la scène d'ouverture du film "Las Vegas 21" si je dis pas de bêtises ;) C'est un peu curieux. Dites moi si je me trompe : au début, on choisit avec probabilité 1/3 d'avoir raison et de découvrir la bonne porte. Une fois qu'une des trois portes est ouverte, il y a donc un événement favorable sur seulement 2 événements possibles, la probabilité d'avoir eu raison passe donc de 1/3 a 1/2. Vaut-il vraiment changer de choix?

C'est bel et bien 50% et non pas 66%.

Les chances sont : FF FG GF GG.
Hors le premier enfant est une fille donc GG est exclus... Mais GF aussi, on a donc la possibilité entre FF et FG.

a écrit : C'est bel et bien 50% et non pas 66%.

Les chances sont : FF FG GF GG.
Hors le premier enfant est une fille donc GG est exclus... Mais GF aussi, on a donc la possibilité entre FF et FG.
Non. Il n'est nulle part question de "premier enfant" dans l'énoncé. C'est bien la subtilité qui fait qu'il y a 66% de chances que l'autre enfant soit un garçon.

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android

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Sur les 4 possibilités FF GG FG GF, ne devrait on pas également supprimer GF, le 1er enfant n'étant assurément pas un garçon ? Dans ce cas il reste bien une chance sur 2. Si l'ordre est indifférent, FG = GF, il n'y a donc que 3 cas au lieu de 4, ce qui ramène également les chances à 50% en supprimant GG...

a écrit : Ton erreur, c’est que tu confonds possibilité et probabilité.
Si tu joues au loto, 2 possibilités: tu gagnes ou tu perds.
Par contre, la probabilité de. Gagner est faible.
Dans les couples avec 2 enfants, il y a 3 possibilités : 2f, 2g, 1f et 1g.
Mais tu as 1 chance sur 4 d’avoir 2f, 1 chanc
e sur 4 d’avoir 2g, 2 chances sur 4 d’avoir 1f et1g. Afficher tout
Ok je comprends mieux merci !

a écrit : FG et GF sont des issues différentes, visualise l'arbre de proba sur un événement court comme ça, tu as 4 issues, et l'une d'entre elles (GG) est écartée par l'hypothèse de départ. Comme l'ordre d'arrivée des enfants n'importe pas, on se retrouve bien avec 2/3 chances que l'autre enfant soit un garçon (même en pratique). Toutefois si l'ordre d'arrivée importait, il y aurait bien 50% de chances que l'autre enfant soit un garçon. C'est une subtilité de l'énoncé. C'est un paradoxe assez contre-intuitif pourtant en pratique il est bel et bien fonctionnel. Afficher tout Ok merci !

a écrit : Non, c'est pour toi que ce n'a pas l'air clair :) Si un couple te demande ça, tu as deux chances sur trois d'avoir raison en répondant que c'est un garçon tant que l'ordre d'arrivée n'importe pas. Si l'ordre d'arrivée importe alors là il n'y aura bien qu'une chance sur deux. Dans l'énoncé là l'ordre n'importe pas.

La différence entre probas et stats ne tient qu'à la pratique. On n'a utilisé le mot probabilité que pour parler de la chance que l'autre enfant soit un garçon en s'adressant à un couple.
En pratique, tu as quand même 2/3 chances que l'autre enfant soit du sexe masculin tant que l'ordre d'arrivée n'importe pas, j'insiste pour que tu saisisse cette nuance.

Tu peux également te référer au commentaire juste au dessus si tu le souhaite :)
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Bonjour,
Posée comme ça, lethargy a bien raison et tu te trompes :
Parmi les couples ayant 2 enfants, 2/3 auront deux enfants de sexe différent.
Mais si c’est le couple qui t’indique le sexe d’un de leur enfant, il y a un biais: 100% des couples qui ont 2 garçons annoncent en avoir au moins 1.
Cette nuance fait que parmi les couples qui annoncent le sexe d’un de leur enfants, ils y’en plus qui ont deux enfant du même sexe que dans parmi les couples dont on ne sait rien.
Au final si l’on pose la question: « dis moi le sexe d’un de tes enfants », on a plus que 50% de chance que le 2ème soit de sexe différent.

Cela est expliqué dans la 2ème sources: mais parmi les couples ayant au moins 1 garçon (la question vient de nous: « avez vous un garçon ») 2/3 auront au final un garçon et une fille.

J’espère que je suis compréhensible, et que l’explication de ce que j’en comprend reste juste.

Et bonne annee

a écrit : Non, à vrai dire il y a légèrement plus d'hommes que de femmes en réalité dans la population mondiale :) mais ça dépend du pays etc. Et d'ailleurs je rappelle que dans certains pays l'un des sexes n'est pas désiré et régulièrement avorté ou tué à la naissance.
Il y a 50% de chances de naître f
emme et c'est tout en fait. Ça ne dépend que du chromosome X ou Y présent dans le spermatozoïde fécondant l'ovule.
Et il n'y a pas du tout 50% de chances de naître droitier tu confonds absolument tout.
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Ah bon je savais pas que j'avais écris qu'il avait autant de chance d'être droitier que gaucher... Encore une personne qui répond sans même avoir lu le commentaire ... Bravo ! et comme tu le répète dans ton commentaire le nombre d'hommes et femmes ne sont pas identique...donc ne commence pas ton commentaire par "non" alors que tu vas dans le même sens ... s'il y a plus homme que de femme comme tu dis, il y a plus de chance d'être XY que XX et pas 50% Bref encore un qui confond absolument tout...

a écrit : Non, à vrai dire il y a légèrement plus d'hommes que de femmes en réalité dans la population mondiale :) mais ça dépend du pays etc. Et d'ailleurs je rappelle que dans certains pays l'un des sexes n'est pas désiré et régulièrement avorté ou tué à la naissance.
Il y a 50% de chances de naître f
emme et c'est tout en fait. Ça ne dépend que du chromosome X ou Y présent dans le spermatozoïde fécondant l'ovule.
Et il n'y a pas du tout 50% de chances de naître droitier tu confonds absolument tout.
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Mais enfin arrête de répéter qu’il y a 50% de chances de naître femme, c’est faux. Ça dépend de différent facteurs comme le régime, le fait que l’on soit en situation de crise etc.
En France, en 2013, on dénombrait 400 149 naissances de garçons contre 381 472 naissances de filles,

a écrit : C'est une idée assez similaire qui est utilisée pour le "jeu" théorique où l'on a trois portes, une cachant un prix, les autres rien du tout.

On donne au joueur le droit de choisir une porte et on lui révèle une mauvaise porte parmis celles qu'il n'a pas choisi. À ce moment on
lui donne le droit de soit garder le même choix de porte ou de changer pour l'autre porte qui n'a pas été révélée.

Il s'avère qu'a chaque fois, il faut toujours changer son "choix" de porte, car la probabilité que l'autre porte soit la bonne n'est pas 50% mais 66%.

L'idée vient du fait que lors du premier choix, on a 66% de chance de une des autres porte contient le prix (car il y a 3 portes). Lorsque l'on révèle une mauvaise porte (parmis les 2 que l'on a pas choisi) cette probabilité ne change pas, il vaut mieux donc changer de porte.

Désolé pour le hors sujet, ce petit example de probabilité m'avait passionné en cours.
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En cours en ou dans Las Vegas 21 ?

a écrit : Ça devient comique: en voyant un couple avec une fille, et sachant qu'ils ont deux enfants, je peux parier sur quel est le sexe de l'autre? Oui tu peux. Evite quand même, le pari financier. Ou alors fais plusieurs pari et là la probalite serait que tu gagnes plus que tu ne perdes.

a écrit : Non justement l'énoncé me semble correct : on a déjà tiré au sort un enfant sur les deux et on a bien trouvé une fille (sans savoir qui est l'aîné). Il nous reste donc les possibilités GF, FG et FF. L’énoncé n’est pas correct car il ne prend pas en compte que les deux événements sont indépendants ;) donc c’est bien 50%