Le paradoxe des deux enfants est contre-intuitif

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Les probabilités sont parfois trompeuses et le paradoxe des deux enfants en est une illustration. Ainsi, si un couple a 2 enfants dont une fille, quelle est la probabilité que l’autre enfant soit un garçon ? Certains répondront 50% (car à la naissance il y a une chance sur 2 qu’il soit d’un sexe ou de l’autre), mais la bonne réponse est de 2 sur 3 (66%).

En effet, la probabilité se définit comme le nombre de cas favorables divisé par le nombre de cas possibles. Ici, les cas possibles sont FF, FG et GF (F pour fille et G pour garçon). Le cas GG (2 garçons) est exclu puisqu’on sait qu’il y a au moins une fille. Il y a donc 2 combinaisons sur 3 avec un garçon.


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a écrit : Comment ça ? Il y a bien toujours 50% de chance d'avoir l'un ou l'autre. Ça ne dépend que duquel du chromosome X ou Y du père est présent dans le spermatozoïde qui féconde l'ovule qui lui est forcément X. Bein non, il y a en réalité bien plus de filles que de garçons (et de plus en plus si on en croit les débats liées aux pollutions des eaux notamment avec les œstrogènes). La méthode de calcul est bonne mais pas tout à fait exacte quant au principe de base énoncé.

a écrit : Comment ça ? Il y a bien toujours 50% de chance d'avoir l'un ou l'autre. Ça ne dépend que duquel du chromosome X ou Y du père est présent dans le spermatozoïde qui féconde l'ovule qui lui est forcément X. En fait il y a un peu plus de garcon que de fille a la conception (je ne dirai pas naissance puisque certain pays font un choix de sexe avec l avortement ou autre), ca se joue a pas grand chose, environ 104 garcon pour 100 filles. Et ce quel que soit le continent, le type de population ou autres.
Le ratio s inverse peu apres, vers l adolescence ou les jeunes adultes, notamment a cause du mode de vie des hommes.
Google ratio garcon/fille naissance.

a écrit : Comment ça ? Il y a bien toujours 50% de chance d'avoir l'un ou l'autre. Ça ne dépend que duquel du chromosome X ou Y du père est présent dans le spermatozoïde qui féconde l'ovule qui lui est forcément X. Ok mais si on suit la logique de l'anecdote, on peut avoir les chromosomes XX, XY ou YX (pas YY, l'ovule est d'office X). Ici, on peut dire que XY ou YX sont les mêmes, alors pourquoi dans l'anecdote, GF et FG sont pas les mêmes ?
Désolé de te citer, mais je trouvais l'exemple dez chromosomes intéressant et totalement opposé à l'anecdote...

Faux. Les possibilités sont FF, FF, GF et FG. Donc on a bien 1 chance sur 2. Merci et à bientôt

Remarque mesquine que je me résous à faire, puisque personne ne s'en est encore aperçu:
2/3=0.66666..., donc, arrondi, le vrai pourcentage est 67% et non 66%.
Multiplié par le nombre de terriens, ça devient important. ;)

Je suis d'accord avec le raisonnement de Sebi954: en désignant par F la fille sont on sait qu'elle existe et par f ou g l'inconnu(e), il faut raisonner sur les possibilités Ff, fF, Fg et gF. Le raisonnement bayesien ne s'applique pas, savoir qu'il existe déjà une fille ne donne aucune information sur le sexe de l'autre.

a écrit : Personnellement je n’adhère pas, dans l’énoncé il n’est à aucun moment précisé que l’ordre importe, GF et FG sont donc la même proba, ce qui ramène à 50%. Non justement l'énoncé me semble correct : on a déjà tiré au sort un enfant sur les deux et on a bien trouvé une fille (sans savoir qui est l'aîné). Il nous reste donc les possibilités GF, FG et FF.

a écrit : Faux. Les possibilités sont FF, FF, GF et FG. Donc on a bien 1 chance sur 2. Merci et à bientôt C'est toi qui es dans le faux, il n'y a qu'une seule façon d'avoir 2 filles : une à la première grossesse et une à la seconde. "Merci et à bientôt" :)

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a écrit : Ok mais si on suit la logique de l'anecdote, on peut avoir les chromosomes XX, XY ou YX (pas YY, l'ovule est d'office X). Ici, on peut dire que XY ou YX sont les mêmes, alors pourquoi dans l'anecdote, GF et FG sont pas les mêmes ?
Désolé de te citer, mais je trouvais l'exemple dez chromos
omes intéressant et totalement opposé à l'anecdote... Afficher tout
Comment ça ? Y'a que 2 possibilités classiques pour les chromosomes : XX (fille) ou XY (homme) c'est tout. Dans les solutions il y a GF et FG car la fille arrive à la seconde ou la première grossesse c'est tout. Pour l'énoncé c'est du pareil au même, il ne précise pas l'ordre d'arrivée qui valide la règle, il demande juste la probabilité sur 2 grossesses d'avoir un garçon et une fille lorsqu'on sait que l'un des deux enfants est une fille.

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a écrit : Je trouve l'énoncé du problème intellectuellement malhonnête. Il joue sur des notions qui sont floues pour la plupart des gens, notamment entre la notion de probabilité et la notion de fréquence d'occurrence d'un événement. Il y a une chance sur deux que le deuxième enfant soit un garçon mais la probabilité que ce soit un garçon est de 66% (dans les conditions du problème).
D'ailleurs les probabilités n'ont de valeurs que sur les grandes séries...
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Je pense que ton commentaire ne fait que rajouter de la confusion au problème. Tu dis qu'il y 66% et 1/2 que ce soit un garçon. Or 1/2 = 50%.

a écrit : Catastrophe cette anecdote. C’est totalement faux car l’énoncé est mal écrit. A corriger Si tu pouvais développer ça aiderait à corriger ce problème. Si tu n'a pas compris alors demande de l'aide.

a écrit : Remarque mesquine que je me résous à faire, puisque personne ne s'en est encore aperçu:
2/3=0.66666..., donc, arrondi, le vrai pourcentage est 67% et non 66%.
Multiplié par le nombre de terriens, ça devient important. ;)

Je suis d'accord avec le raisonnement de Sebi954: en désignant p
ar F la fille sont on sait qu'elle existe et par f ou g l'inconnu(e), il faut raisonner sur les possibilités Ff, fF, Fg et gF. Le raisonnement bayesien ne s'applique pas, savoir qu'il existe déjà une fille ne donne aucune information sur le sexe de l'autre. Afficher tout
Ce raisonnement est faux. Puisqu'il n'y a qu'une seule F. Vous la comptez 2 fois alors qu'elle est l'hypothèse de départ. Il ne peut pas y avoir fF et Ff.
Il y a dans le paradoxe de Monty Hall les issues FF GG FG et GF et l'issue GG est écartée par l'hypothèse de départ : on sait qu'il y a une fille.

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a écrit : mouais.. cest du langage statistiqur mais au final il y a bien une chance sur deux d avoir un garcon ! Tel qu'est posé le problème : non ! Il faut arriver à pouvoir distinguer les faits de ses propres intuitions qui peuvent s'avérer fausses. Si tu n'arrives pas à être convaincu (ce qui est bien en soit), alors c'est un problème très facile à vérifier avec Excel par exemple. Tu retombera sûrement sur 67%.

a écrit : Ce raisonnement est faux. Puisqu'il n'y a qu'une seule F. Vous la comptez 2 fois alors qu'elle est l'hypothèse de départ. Il ne peut pas y avoir fF et Ff.
Il y a dans le paradoxe de Monty Hall les issues FF GG FG et GF et l'issue GG est écartée par l'hypothèse de départ : on sait qu'il y a une fille.
Pourquoi donc Ff et fF sont-elles des probabilités à écarter? On ne sait pas si la fille est l'aînée ou la cadette.

Je n'ai bien sûr pas tenu compte de remarques déjà faites, qu'il naît un peu plus de garçons que de filles (mais qu'ils ont une mortalité plus élevée, ce qui ramène à 18 ans une égalité presque parfaite), et de cas de vraies jumelles.

Tout est une question de choix de mots. Si l'anecdote disait "les chances que l'enfant soit une fille ou un garçon", c'est bien 50% (en gros juste pour l'un des enfant) mais si c'était "les chances qu'il y ai une fille ET un garçon" (en gros la combinaison F et G) ba là c'est 2/3.

Des gens semblent effectivement voir du mal avec les probabilités, l'anecdote me semble donc etre dans le vrai ! (et c'est effectivement difficile quand on n'en a pas l'habitude).
Un point assez important, c'est qu'il est aisé du surinterprété l'énoncé. Certains vont par exemple lire que "le premier enfant est une fille", auquel cas on a effectivement 1/2 d'avoir un garcon. Mais ca n'est pas ce qui est écrit, simplement qu'un enfant est une fille. A partir de la, on a donc éliminer GG, et l'information totale change, puisqu'une entité externe à modifier le jeu.
Contrairement a ce que certains peuvent s'imaginer, il ne s'agit pas d'un langage statisticien sans réalité, c'est un cas pratique. Si on vous présente un couple avec deux enfant, et que vous voyez leur fille, vous aurez effectivement plus de chance de voir un garcon q'une autre fille (ce dernier pouvant etre plus jeune ou plus agé que ca soeur). Bien sur, ca n'aura aucune valeur sur un essai, mais si l'on vous montre une centaine de couple avec une fille et 2 enfants en tout, alors vous aurez des meilleurs résultats en prédisant à chaque fois qu'elle a un frere plutot qu'une soeur.

Conneries que toutes ces statistiques... Si au départ les chances d'avoir un garçon ou une fille sont identiques (il semble qu'il y ait plus de garçons donc ça modifie un peu) et bien ce sera du 50/50 même si on a eu 40 filles avant !
C'est comme le loto : une chance sur 1 million de gagner, par exemple, et bien ce sera toujours une chance sur 1 million chaque jour, même si on joue tous les jours. Je ne vois pas pourquoi on se prend la tête avec ça ;)
C'est un peu comme les catastrophes classifiées "centenales" : ça ne veut pas dire que ça arrive tous les cent ans ; ça veut dire qu'il y a une "probabilité" que ça arrive dans les cent ans... c'est à dire demain ou dans mille ans. Moi aussi je sais faire ce genre de probalités ;)

a écrit : Pourquoi donc Ff et fF sont-elles des probabilités à écarter? On ne sait pas si la fille est l'aînée ou la cadette.

Je n'ai bien sûr pas tenu compte de remarques déjà faites, qu'il naît un peu plus de garçons que de filles (mais qu'ils ont une mortalité plus élevée, ce qui ramène à 18 a
ns une égalité presque parfaite), et de cas de vraies jumelles. Afficher tout
Parce que l'ordre d'arrivée n'a aucune importance dans l'énoncé.

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a écrit : Conneries que toutes ces statistiques... Si au départ les chances d'avoir un garçon ou une fille sont identiques (il semble qu'il y ait plus de garçons donc ça modifie un peu) et bien ce sera du 50/50 même si on a eu 40 filles avant !
C'est comme le loto : une chance sur 1 million de gagner, par ex
emple, et bien ce sera toujours une chance sur 1 million chaque jour, même si on joue tous les jours. Je ne vois pas pourquoi on se prend la tête avec ça ;)
C'est un peu comme les catastrophes classifiées "centenales" : ça ne veut pas dire que ça arrive tous les cent ans ; ça veut dire qu'il y a une "probabilité" que ça arrive dans les cent ans... c'est à dire demain ou dans mille ans. Moi aussi je sais faire ce genre de probalités ;)
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D'accord avec ce commentaire sensé.
Beaucoup d'autres font une application erronée du théorème de Bayes, qui s'applique à des événements liés, ou la survenance de A joue sur la probabilité de B, et dont un exposé très simple est:
www.deleze.name/marcel/culture/probabilites/bayes/bayes.pdf

Si quelqu'un me dit "j'ai deux enfants dont une fille; quel est le sexe de l'autre?". En supposant les deux (heureux) événements comme complètement indépendants, je n'ai donc aucune information de corrélation, et ne peux répondre qu'au hasard, avec une chance, ou un risque, sur deux.

a écrit : Conneries que toutes ces statistiques... Si au départ les chances d'avoir un garçon ou une fille sont identiques (il semble qu'il y ait plus de garçons donc ça modifie un peu) et bien ce sera du 50/50 même si on a eu 40 filles avant !
C'est comme le loto : une chance sur 1 million de gagner, par ex
emple, et bien ce sera toujours une chance sur 1 million chaque jour, même si on joue tous les jours. Je ne vois pas pourquoi on se prend la tête avec ça ;)
C'est un peu comme les catastrophes classifiées "centenales" : ça ne veut pas dire que ça arrive tous les cent ans ; ça veut dire qu'il y a une "probabilité" que ça arrive dans les cent ans... c'est à dire demain ou dans mille ans. Moi aussi je sais faire ce genre de probalités ;)
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La preuve que tu ne le sais pas puisque même en pratique si un couple a 2 enfants et que tu ne vois que leur fille, il y a deux chances sur trois qu'ils aient un garçon comme autre enfant. Qu'il soit plus jeune ou plus vieux que la fille. C'est cette dernière phrase qui est déterminante.

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a écrit : La preuve que tu ne le sais pas puisque même en pratique si un couple a 2 enfants et que tu ne vois que leur fille, il y a deux chances sur trois qu'ils aient un garçon comme autre enfant. Qu'il soit plus jeune ou plus vieux que la fille. C'est cette dernière phrase qui est déterminante. Ça devient comique: en voyant un couple avec une fille, et sachant qu'ils ont deux enfants, je peux parier sur quel est le sexe de l'autre?