Le paradoxe des deux enfants est contre-intuitif

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Les probabilités sont parfois trompeuses et le paradoxe des deux enfants en est une illustration. Ainsi, si un couple a 2 enfants dont une fille, quelle est la probabilité que l’autre enfant soit un garçon ? Certains répondront 50% (car à la naissance il y a une chance sur 2 qu’il soit d’un sexe ou de l’autre), mais la bonne réponse est de 2 sur 3 (66%).

En effet, la probabilité se définit comme le nombre de cas favorables divisé par le nombre de cas possibles. Ici, les cas possibles sont FF, FG et GF (F pour fille et G pour garçon). Le cas GG (2 garçons) est exclu puisqu’on sait qu’il y a au moins une fille. Il y a donc 2 combinaisons sur 3 avec un garçon.


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a écrit : Donc changer de porte ne changera rien. Ton exemple est en fait (c'est ma conviction) un contre-exemple d'une utilisation fallacieuse des probabilités. Je demande confirmation à 'Probas' s'il nous lit.
Bonne année à tous !
Ta conviction est fausse :) La porte n'a beau ne pas avoir changée, tu as plus de chance si tu en change. Ça n'engage pas la victoire, c'est simplement des chances supplémentaires. C'est la même situation ici. Si on sait qu'il y a une fille il y a 2 chances sur 3 que l'autre enfant soit un garçon si l'ordre d'arrivée n'importe pas, même en pratique. Cela n'empêche qu'il reste une chance sur trois qu'il y ait deux filles.

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a écrit : Comme on dit des fois, les statistiques pour les statisticiens c'est comme les lampadaires pour les ivrognes, ils les soutiennent plus qu'ils ne les éclairent!



======> []
Et les citations de coin de bar pour les gens qui n'ont pas d'idée :)

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a écrit : D'accord avec ce commentaire sensé.
Beaucoup d'autres font une application erronée du théorème de Bayes, qui s'applique à des événements liés, ou la survenance de A joue sur la probabilité de B, et dont un exposé très simple est:
www.deleze.name/marcel/culture/probabilites/bayes/bayes
.pdf

Si quelqu'un me dit "j'ai deux enfants dont une fille; quel est le sexe de l'autre?". En supposant les deux (heureux) événements comme complètement indépendants, je n'ai donc aucune information de corrélation, et ne peux répondre qu'au hasard, avec une chance, ou un risque, sur deux.
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Hé bien non, non et non.
Malgré les nombreux commentaires, tout comme rem170, tu n’as toujours pas compris.
Relis les explications de Khanos, c’est le plus clair.
Prends un couple dans la rue. Demande leur s’ils ont deux enfants.
S’ils te répondent oui, demande leur si l’un de leurs enfants est une fille.
S’ils répondent oui, tu peux parier avec 2 chances que 3 que le second est un garçon.
Si tu n’es toujours pas convaincu, expérimente.

a écrit : Ça devient comique: en voyant un couple avec une fille, et sachant qu'ils ont deux enfants, je peux parier sur quel est le sexe de l'autre? OUI
Comment faut il te le dire ?

a écrit : mouais.. cest du langage statistiqur mais au final il y a bien une chance sur deux d avoir un garcon ! Sauf que l énoncé ce n'est pas ça...

"Si un couple a deux enfants dont une fille, quelle est la probabilité que l'autre enfant soit un garçon ?" Si c'est écrit en français, qu'on lit et qu'on comprend le français la réponse est extrêmement simple... C'est 100%!!! Il aurait fallut écrire "si un couple a deux enfants dont AU MOINS une fille..." Bref... Anecdote pourrie par une mauvaise rédaction. Sur ce genre d'énoncé il faut être plutôt pointilleux...

a écrit : "Si un couple a deux enfants dont une fille, quelle est la probabilité que l'autre enfant soit un garçon ?" Si c'est écrit en français, qu'on lit et qu'on comprend le français la réponse est extrêmement simple... C'est 100%!!! Il aurait fallut écrire "si un couple a deux enfants dont AU MOINS une fille..." Bref... Anecdote pourrie par une mauvaise rédaction. Sur ce genre d'énoncé il faut être plutôt pointilleux... Afficher tout L'énoncé est parfaitement français et parfaitement intelligible pour quelqu'un qui a ne serais-ce que des bases en statistiques et qui sait qu'il doit être vigilant au moindre mot.

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L anecdote est un exemple du calcul de la probabilité de B sachant A.
Les gens on envie de dire 50%, 1 chance sur 2 a chaque fois! Mais c est le calcul d un tirage avec remise...
Pour l exemple des 3 portes ou l on en choisit une, je l ai découvert dans Las Vegas 21 ^^

a écrit : En gros au départ on a :
50% de chance d'avoir une fille, puis sur la deuxième grossesse 50% de chance d'avoir une fille et 50% de chance d'avoir un garçon
50% de chance d'avoir un garcon, puis sur la seconde grossesse 50% de chance d'avoir une fille et 50% de chance d'avoir un
garçon.

Ainsi on voit bien comme dit dans le complément que sur les 4 possibilités (FF, FG, GF et GG) qu'il y a 2 possibilités d'avoir une fille et un garçon au départ, 1 possibilité d'avoir deux filles et 1 possibilité d'avoir deux garçons, cette dernière étant exclue d'entrée par le fait qu'il y ait une fille.

Avec cet énoncé on a donc bien 2 chances sur 3 d'avoir une fille et un garçon a la fin.
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Tout a fait d accord sauf sur un point...
Le fait d avoir en premier une fille n influence en rien ma deuxième naissance.
La première probabilité et la deuxième sont totalement indépendantes.
Le 2/3 prend en considération le fait qu une fille soit née et a la fois vous considerez la possibilité de GF. Mais si une fille est nee en première la possibilité GF n existe plus,
tout comme GG...
Je ne sais pas si c est clair mais le raisonnement me semble bancal...

L'anecdote n'est pas claire et je comprends que beaucoup soient troublés. L'ordre importe, et ça joue sur les probas.

Votre collègue joue aux devinettes avec vous et dit "Devine le sexe de mes deux enfants. L'un d'eux au moins est une fille", sans vous donner d'ordre de naissances. Vous saurez donc qu'il y n'y a pas 2 garçons (0%), mais qu'il y a soit 2 filles (33%), soit une fille puis un garçon (33%), soit un garçon puis une fille (33%). Vous avez donc intérêt à répondre que votre collègue a aussi un garçon.

2e cas, votre couple attend un bébé et vous avez déjà une fille : avoir 2 garçons est donc exclu, mais avoir un garçon puis une fille aussi. Le tirage devient donc FF (50%) ou FG (50%), donc avec autant de proba d'avoir l'un ou l'autre, la grande soeur n'intervenant pas sur le sexe du bébé à naître (tirage indépendant).

Sorry for the long post, here have a potato.

a écrit : Ces matheux, toujours à se prendre la tête pour n'importe quoi. À force de théoriser vous passez à côté de l'essentiel, "un enfant c'est un rayon de soleil dans une maison" M. Pagnol.
Fille ou garçon, peu importe.

Une petite dernière pour finir l'année ?

&qu
ot;Les statistiques, c'est pour ceux qui manquent d'imagination"

Bonne année 2018 à tout les lecteurs de SCMB.
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Ça tombe bien, ce ne sont pas des statistiques mais des probabilités ;-)

Les statistiques c'est compter des choses existantes, alors que les probas ouvrent l'esprit à tous les avenirs possibles, même les moins probables ! Que souhaiter de plus imaginatif ?
Bonne année 2018 !

a écrit : Non pas du tout. Déjà premièrement il n'est pas question de l'ordre d'arrivée dans l'énoncé. Ensuite, FG et GF sont bien deux événements différents. Visualiser l'arbre de probabilité sur un ecenement aussi court est très utile.

Avoir deux enfants :
F -> F (25%)
F -&g
t; G (25%)
G -> F (25%)
G -> G (25%)

Ensuite en lisant l'énoncé on comprend que l'issue GG est exclue d'office puisqu'il y a une fille comme hypothèse de départ. Il y a donc bien deux situations sur les 3 où il y a un garçon et une fille comme l'ordre d'arrivée n'a aucune importance.
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Si l'ordre d'arrivée (la chronologie des naissances) n'a aucune importance, pourquoi différencier G -> F et F -> G ?

De ce que je comprends, si on ne tient pas compte de la chronologie des naissances, on obtient les possibilités suivantes :
- 2 enfants F
- Enfants de sexes différents F/G
- 2 enfants G
Soit au départ 1 possibilité sur 3 (33,33%) d'avoir des enfants de sexes différents, et la dernière proposition étant exclue par l'énoncé, j'ai bien 1 possibilité sur 2 (50%) d'avoir des enfants de sexe différents.

Par ailleurs, si on prend en compte la chronologie des naissances, on obtient les possibilités suivantes :
Fa -> Fb
Fb -> Fa
F -> G
G -> F
Ga -> Gb
Gb -> Ga
Soit au départ 2 possibilités sur 6 d'avoir un garçon et une fille (33,33%), et les deux dernière propositions étant exclus par l'énoncé (qui ne précise pas si la F connue est aînée ou cadette), j'ai bien 2 possibilités sur 4 que l'autre enfant soit un garçon (50% également).

Si je fais une erreur, je serais très reconnaissant envers celui qui voudra bien me l'expliquer.

Je souhaite une bonne année pleine d'anecdotes passionnantes à tous ceux qui aiment se coucher moins bête !

Je n'ai pas compris pourquoi est ce que GF et FG sont comptabilisées comme 2 probas différentes alors que le résultat est le même :un garçon, une fille.
L'ordre n'importe pas

a écrit : Tout a fait d accord sauf sur un point...
Le fait d avoir en premier une fille n influence en rien ma deuxième naissance.
La première probabilité et la deuxième sont totalement indépendantes.
Le 2/3 prend en considération le fait qu une fille soit née et a la fois vous considerez la possibilité de GF
. Mais si une fille est nee en première la possibilité GF n existe plus,
tout comme GG...
Je ne sais pas si c est clair mais le raisonnement me semble bancal...
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Tout à fait, mais ici l'ordre d'arrivée n'importe pas. Si il avait une importance dans l'énoncé, la probabilité serait bien de 50%, car il faudrait prendre en compte le fait que la fille ait pu arriver en premier ou en second.

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a écrit : Si l'ordre d'arrivée (la chronologie des naissances) n'a aucune importance, pourquoi différencier G -> F et F -> G ?

De ce que je comprends, si on ne tient pas compte de la chronologie des naissances, on obtient les possibilités suivantes :
- 2 enfants F
- Enfants de sexes
différents F/G
- 2 enfants G
Soit au départ 1 possibilité sur 3 (33,33%) d'avoir des enfants de sexes différents, et la dernière proposition étant exclue par l'énoncé, j'ai bien 1 possibilité sur 2 (50%) d'avoir des enfants de sexe différents.

Par ailleurs, si on prend en compte la chronologie des naissances, on obtient les possibilités suivantes :
Fa -> Fb
Fb -> Fa
F -> G
G -> F
Ga -> Gb
Gb -> Ga
Soit au départ 2 possibilités sur 6 d'avoir un garçon et une fille (33,33%), et les deux dernière propositions étant exclus par l'énoncé (qui ne précise pas si la F connue est aînée ou cadette), j'ai bien 2 possibilités sur 4 que l'autre enfant soit un garçon (50% également).

Si je fais une erreur, je serais très reconnaissant envers celui qui voudra bien me l'expliquer.

Je souhaite une bonne année pleine d'anecdotes passionnantes à tous ceux qui aiment se coucher moins bête !
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FG et GF sont des issues différentes, visualise l'arbre de proba sur un événement court comme ça, tu as 4 issues, et l'une d'entre elles (GG) est écartée par l'hypothèse de départ. Comme l'ordre d'arrivée des enfants n'importe pas, on se retrouve bien avec 2/3 chances que l'autre enfant soit un garçon (même en pratique). Toutefois si l'ordre d'arrivée importait, il y aurait bien 50% de chances que l'autre enfant soit un garçon. C'est une subtilité de l'énoncé. C'est un paradoxe assez contre-intuitif pourtant en pratique il est bel et bien fonctionnel.

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a écrit : Si l'ordre d'arrivée (la chronologie des naissances) n'a aucune importance, pourquoi différencier G -> F et F -> G ?

De ce que je comprends, si on ne tient pas compte de la chronologie des naissances, on obtient les possibilités suivantes :
- 2 enfants F
- Enfants de sexes
différents F/G
- 2 enfants G
Soit au départ 1 possibilité sur 3 (33,33%) d'avoir des enfants de sexes différents, et la dernière proposition étant exclue par l'énoncé, j'ai bien 1 possibilité sur 2 (50%) d'avoir des enfants de sexe différents.

Par ailleurs, si on prend en compte la chronologie des naissances, on obtient les possibilités suivantes :
Fa -> Fb
Fb -> Fa
F -> G
G -> F
Ga -> Gb
Gb -> Ga
Soit au départ 2 possibilités sur 6 d'avoir un garçon et une fille (33,33%), et les deux dernière propositions étant exclus par l'énoncé (qui ne précise pas si la F connue est aînée ou cadette), j'ai bien 2 possibilités sur 4 que l'autre enfant soit un garçon (50% également).

Si je fais une erreur, je serais très reconnaissant envers celui qui voudra bien me l'expliquer.

Je souhaite une bonne année pleine d'anecdotes passionnantes à tous ceux qui aiment se coucher moins bête !
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Ton erreur, c’est que tu confonds possibilité et probabilité.
Si tu joues au loto, 2 possibilités: tu gagnes ou tu perds.
Par contre, la probabilité de. Gagner est faible.
Dans les couples avec 2 enfants, il y a 3 possibilités : 2f, 2g, 1f et 1g.
Mais tu as 1 chance sur 4 d’avoir 2f, 1 chance sur 4 d’avoir 2g, 2 chances sur 4 d’avoir 1f et1g.

a écrit : Bonne année 2018 à tous, que cette année nous permette de découvrir des choses aussi étonnantes que belles grâce aux anecdotes de SCMB. Que Dieu nous garde. Je termine par ces mots "tant qu'il y aura des gens qui aiment partager leur savoir et des gens qui voudront apprendre SCMB vivra C’est de Voltaire.

Au niveau genetique, le sexe dépend de la paire de chromosomes sexuels XX ou XY.
Vu ce que vous (homme = XY) décrivez, votre femme (femme = XX) est porteuse d'une mutation génétique récessive (c'est à dire que les deux chromosomes doivent être touchés pour déclarer la maladie) sur un de ses chromosomes X.
Si vous avez une fille, vous lui donnerez un de vos chromosomes X qui est sain donc au moins 1 chromosome sur ses deux X le sera. Il est impossible qu'elle développe la maladie.
Si vous avez un garcon, vous lui donnerez un chromosome Y. Dans ce cas particulier, comme il n'existe pas de véritable paire, le fait que votre garcon soit atteint ou non dépend uniquement du chromosome X que lui donnera votre femme. Soit une chance sur deux.

Au moment de la fécondation voilà les quatres options possibles, ou X représente le chromosome sain et x le chromosome muté :
XX (F saine) XY (G sain)
xX (F saine mais porteuse) xY (G malade)
On voit bien sur ce tableau qu'un seul cas sur quatre aboutit à un garçon malade. Ce qui fait bien une chance sur quatre.

a écrit : Comment ça ? Il y a bien toujours 50% de chance d'avoir l'un ou l'autre. Ça ne dépend que duquel du chromosome X ou Y du père est présent dans le spermatozoïde qui féconde l'ovule qui lui est forcément X. Non il y a plus de femme que d'homme. Donc ce n'est pas 50/50. C'est comme dire que tu as 50/50 chances d'être droitier ou gaucher à la naissance. Même si tu n'as que deux mains tu sais que tu as beaucoup plus de chances d'être droitier. Voilà le postulat de départ est faux, tous les calculs qui en découlent sont donc faux.

a écrit : Non il y a plus de femme que d'homme. Donc ce n'est pas 50/50. C'est comme dire que tu as 50/50 chances d'être droitier ou gaucher à la naissance. Même si tu n'as que deux mains tu sais que tu as beaucoup plus de chances d'être droitier. Voilà le postulat de départ est faux, tous les calculs qui en découlent sont donc faux. Afficher tout Non, à vrai dire il y a légèrement plus d'hommes que de femmes en réalité dans la population mondiale :) mais ça dépend du pays etc. Et d'ailleurs je rappelle que dans certains pays l'un des sexes n'est pas désiré et régulièrement avorté ou tué à la naissance.
Il y a 50% de chances de naître femme et c'est tout en fait. Ça ne dépend que du chromosome X ou Y présent dans le spermatozoïde fécondant l'ovule.
Et il n'y a pas du tout 50% de chances de naître droitier tu confonds absolument tout.

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