Le paradoxe des deux enfants est contre-intuitif

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Les probabilités sont parfois trompeuses et le paradoxe des deux enfants en est une illustration. Ainsi, si un couple a 2 enfants dont une fille, quelle est la probabilité que l’autre enfant soit un garçon ? Certains répondront 50% (car à la naissance il y a une chance sur 2 qu’il soit d’un sexe ou de l’autre), mais la bonne réponse est de 2 sur 3 (66%).

En effet, la probabilité se définit comme le nombre de cas favorables divisé par le nombre de cas possibles. Ici, les cas possibles sont FF, FG et GF (F pour fille et G pour garçon). Le cas GG (2 garçons) est exclu puisqu’on sait qu’il y a au moins une fille. Il y a donc 2 combinaisons sur 3 avec un garçon.


Tous les commentaires (138)

He ne cherchez pas à prouver que l'anecdote est fausse. Elle est vraie et c'est démontré par À +B.
C'est très contre intuitif c'est vrai.

Ça se prend bien la tête sur cette anecdote... pour mieux comprendre, prenez 100 couples avec 2 enfants : vous aurez (theoriquement) 25 couples avec 2 filles, 25 couples avec 2 garçons et 50 couples avec 1 fille et 1 garçon. On retrouve donc bien les 2 chances sur 3 de l'anecdote : 50 couples sur 75 ayant un garçon (ainé ou cadet) ont aussi une fille (ainee ou cadette...). Est ce plus clair ?

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a écrit : Ça devient comique: en voyant un couple avec une fille, et sachant qu'ils ont deux enfants, je peux parier sur quel est le sexe de l'autre? Et bien oui ! Vous aurez plus de chance que l'autre soit un garçon.

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a écrit : Ça devient comique: en voyant un couple avec une fille, et sachant qu'ils ont deux enfants, je peux parier sur quel est le sexe de l'autre? Eh oui, si tu prends un grand nombre de couples qui ont deux enfants dont une fille, tu as 66% de chances que l'autre enfant soit un garçon. La réflexion est simple : ils peuvent alors avoir 2 filles, un garçon et une fille, ou une fille et un garçon ensuite. C'est les seules possibilités si tu sais qu'il y a une fille dans le lot. Et comme les probabilités de chacun des 3 cas sont les mêmes, eh bien tu as 2 chances sur 3 qu'il y ait un garçon et une fille.

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Jamais une anecdote ne m’aura tant donné mal à la tête !
J’ai deux garçons . Quelle est la probabilité que mon 3ème enfant soit une fille?

Si vous ne comprenez rien aux statistiques, je vous conseille une excellente chaîne Youtube : La statistique expliquée à mon chat. Vous trouverez des vidéos de qualité, avec des explications statistiques, tournée d'une façon à vulgariser au maximum, ce qui permet d'être à la portée de tout un chacun, à condition de ne pas regarder avec du popcorn dans les mains non plus... Mais je vous le conseille vraiment...

Et au fait, bonne année... :-)

a écrit : Jamais une anecdote ne m’aura tant donné mal à la tête !
J’ai deux garçons . Quelle est la probabilité que mon 3ème enfant soit une fille?
Énoncé comme ça, il y a 50% de chance tout simplement. Comme pour chaque enfant. En fait ce qu'il faut comprendre dans les statistiques c'est que ce n'est pas le calcul qui est compliqué, c'est comprendre la formulation de l'énoncé. Chaque mot de français a une importance capitale.

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l'intitulé du paradoxe est mal formulé
ce n'est pas "un couple a une fille, quelle est la probabilité que le deuxième soit un garçon" mais "un couple a une fille, quelle est la probabilité qu'il aient une fille et un garçon"
en effet, à la naissance, la probabilité reste de 50% ( sauf cas exeptionnels non pris en compte pour la démonstration) pour les deux genres, car le hasard n'a pas de mémoire
c'est mieux expliqué dans les liens

Bref une anecdote mal formulé et beaucoup de mélanges entre statistiques et probabilités. Bref je me coucherai pas moins bête la....

a écrit : l'intitulé du paradoxe est mal formulé
ce n'est pas "un couple a une fille, quelle est la probabilité que le deuxième soit un garçon" mais "un couple a une fille, quelle est la probabilité qu'il aient une fille et un garçon"
en effet, à la naissance, la probabilité reste d
e 50% ( sauf cas exeptionnels non pris en compte pour la démonstration) pour les deux genres, car le hasard n'a pas de mémoire
c'est mieux expliqué dans les liens
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C'est toi qui as mal lu l'énoncé alors :) il n'y a nulle part une question d'ordre dans l'énoncé !

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Je ne suis pas d’accord car FG et GF correspondent au même événement: avoir une fille et un garçon, et dans ce cas les deux seuls évènements possibles sont: FF et FG.
La seule manière d’en faire deux événements différents serait de numéroter les enfants ainsi FG (enfant 1 = fille) serait différent de GF (enfant 1 = garçon). Mais même alors on n’aurait toujours que 2 possibilité puisqu’on connaît déjà le sexe du premier enfant: il ne reste ainsi que FF ou FG.

a écrit : Auxquels il ne faut pas oublier d'ajouter TG, TG, TG et TG (TG pour Transgenre) Il y a forcément un gente dominant à la naissance

a écrit : Je ne suis pas d’accord car FG et GF correspondent au même événement: avoir une fille et un garçon, et dans ce cas les deux seuls évènements possibles sont: FF et FG.
La seule manière d’en faire deux événements différents serait de numéroter les enfants ainsi FG (enfant 1 = fille) serait différent de GF (enfant 1
= garçon). Mais même alors on n’aurait toujours que 2 possibilité puisqu’on connaît déjà le sexe du premier enfant: il ne reste ainsi que FF ou FG. Afficher tout
Non pas du tout. Déjà premièrement il n'est pas question de l'ordre d'arrivée dans l'énoncé. Ensuite, FG et GF sont bien deux événements différents. Visualiser l'arbre de probabilité sur un ecenement aussi court est très utile.

Avoir deux enfants :
F -> F (25%)
F -> G (25%)
G -> F (25%)
G -> G (25%)

Ensuite en lisant l'énoncé on comprend que l'issue GG est exclue d'office puisqu'il y a une fille comme hypothèse de départ. Il y a donc bien deux situations sur les 3 où il y a un garçon et une fille comme l'ordre d'arrivée n'a aucune importance.

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a écrit : Jamais une anecdote ne m’aura tant donné mal à la tête !
J’ai deux garçons . Quelle est la probabilité que mon 3ème enfant soit une fille?
On prend ts les cas possibles : GGG GGF GFG GFF FGG FGF FFG FFF. Dans tous ces cas, il y a 4 cas ou il y a 2 garçons. Et sur ces 4 cas, il y a 1 cas ou le 3ème est un garçon, 3 ou c'est une fille. Donc 1 chance sur 4 que ce soit un garçon qd il y a déjà 2 garçons, et 3 chances sur 4 que ce soit une fille. Attention, on est d'accord que je ne parle pas de la chance d'avoir un garçon pour une dernière naissance !

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Il ne faut pas confondre les probabilités et « la chance » telle que perçue dans la langage courant
Probabilités, statistiques.. il y’a une definition et une formule, il faut appliquer c’est «  tout »

a écrit : Non pas du tout. Déjà premièrement il n'est pas question de l'ordre d'arrivée dans l'énoncé. Ensuite, FG et GF sont bien deux événements différents. Visualiser l'arbre de probabilité sur un ecenement aussi court est très utile.

Avoir deux enfants :
F -> F (25%)
F -&g
t; G (25%)
G -> F (25%)
G -> G (25%)

Ensuite en lisant l'énoncé on comprend que l'issue GG est exclue d'office puisqu'il y a une fille comme hypothèse de départ. Il y a donc bien deux situations sur les 3 où il y a un garçon et une fille comme l'ordre d'arrivée n'a aucune importance.
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Il y a une confusion entre statistiques et probabilités.

Si l'on prend de nombreux couples ayant deux enfants, il y a effectivement 25% de chances qu'ils soient FF, FG, GF ou GG respectivement. Si l'on me dit qu'ils ne sont pas dans le cas GG, alors effectivement il y a 2/3 de chances qu'ils aient un garçon. (statistiques)

Mais si l'un des couples me demande: "nous avons deux enfants dont une fille, quel est le sexe de l'autre?" j'ai une chance sur deux de tomber juste, ou un risque sur deux de me tromper. (probabilités)

C'est une différence fondamentale; en tous cas, le théorème de Bayes ne s'applique pas ici. Savoir qu'ils ont une fille ne me donne aucune information sur sa sœur ou frère.

Est-ce clair?

Bonjour à tous, je consulte régulièrement JMCMB depuis quelques années sans jamais avoir posté de commentaire, mais j'ai ressenti aujourd'hui l'utilité de créer un profil spécialement pour réagir à cette anecdote.

Avant toute chose, je suis docteur en probabilités et je peux vous dire que j'en connais un rayon sur ce genre de problèmes. Je suis vraiment ravi que les mathématiques soient à l'honneur avec cette anecdote, mais je constate que le problème ne semble pas vraiment compris, ni même bien expliqué dans l'anecdote, pardon l'auteur.

Si un couple a deux enfants, que l'un des deux (l'aîné ou le cadet, on ne sait pas) est une fille, alors il y a effectivement 2 chances sur 3 que l'autre enfant soit un garçon. En revanche, si on sait que c'est l'aîné qui est une fille, alors il y a 1 chance sur 2 que l'autre soit un garçon, idem si on sait que c'est le cadet. Comprenez-vous la subtilité ? Dans le premier cas, on ne connaît pas la position de la fille dans la famille, alors que dans le second cas, on la connaît (aîné ou cadet). Les résultats sont radicalement différents selon les deux formulations très proches (et qui peuvent sembler identiques, à tort, pour un public non initié), et il me semble important de le signaler dans l'anecdote.

En fait je vais m'arrêter là parce que je pourrais écrire au moins 10 pages sur la chose, notamment avec des calculs détaillés mais accessibles, et plus rigoureux que la preuve proposée qui laisse un peu à désirer je trouver, notamment la probabilité se définit ici effectivement comme le nombre de cas favorables divisé par le nombre de cas possibles mais cela n'est vrai que parce que les cas d'origine sont tous équiprobables, c'est-à-dire que FF, FG, GF et GG ont tous une chance 1/4 d'apparaître, si l'on prend l'ordre d'apparition en compte. Bien sûr, j'ai conscience qu'une preuve mathématique rigoureuse n'a pas forcément sa place ici, que ce n'est pas vraiment le propos de l'anecdote, mais essayez tout de même de retenir la bonne chose, en prenant garde à l'énoncé. Si vous voulez plus de détails, faites me signe, je serais vraiment ravi de vous répondre.

a écrit : Il y a une confusion entre statistiques et probabilités.

Si l'on prend de nombreux couples ayant deux enfants, il y a effectivement 25% de chances qu'ils soient FF, FG, GF ou GG respectivement. Si l'on me dit qu'ils ne sont pas dans le cas GG, alors effectivement il y a 2/3 de chances q
u'ils aient un garçon. (statistiques)

Mais si l'un des couples me demande: "nous avons deux enfants dont une fille, quel est le sexe de l'autre?" j'ai une chance sur deux de tomber juste, ou un risque sur deux de me tromper. (probabilités)

C'est une différence fondamentale; en tous cas, le théorème de Bayes ne s'applique pas ici. Savoir qu'ils ont une fille ne me donne aucune information sur sa sœur ou frère.

Est-ce clair?
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Non, c'est pour toi que ce n'a pas l'air clair :) Si un couple te demande ça, tu as deux chances sur trois d'avoir raison en répondant que c'est un garçon tant que l'ordre d'arrivée n'importe pas. Si l'ordre d'arrivée importe alors là il n'y aura bien qu'une chance sur deux. Dans l'énoncé là l'ordre n'importe pas.

La différence entre probas et stats ne tient qu'à la pratique. On n'a utilisé le mot probabilité que pour parler de la chance que l'autre enfant soit un garçon en s'adressant à un couple.
En pratique, tu as quand même 2/3 chances que l'autre enfant soit du sexe masculin tant que l'ordre d'arrivée n'importe pas, j'insiste pour que tu saisisse cette nuance.

Tu peux également te référer au commentaire juste au dessus si tu le souhaite :)

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En réalité cette statistique mathématique est fausse sur une application biologique.
La probabilité qu'un spermatozoide soit mâle ou femelle lors de la fécondation est bien de 50% à l'échelle de l'espèce mais a bien des variantes géniques individuels entraînant des progénitures exclusivement masculines ou féminines dans les cas extrêmes

Pragmatiquement si je puis dire fg et gf c'est la même chose