Le Prince des mathématiciens découvre l'heptadécagone

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En 1796, le mathématicien Carl Friedrich Gauss réussit à 19 ans seulement à construire un heptadécagone (polygone régulier à 17 côtés) uniquement à la règle et au compas en 64 étapes, alors que le problème était posé depuis l'Antiquité. Il fut publié dans le journal local et fut surnommé « le Prince des mathématiciens ».


Commentaires préférés (3)

Dire que moi je galère a tracer un trait droit a la règle...

Commentaire supprimé heptadecagone...
Pour un heptagone ce n'est pas possible, c'est même démontré mathématiquement.
Gauss a même par la suite enonce un theoreme pour savoir si un polygone régulier convexe est traçable a la règle et au compas (Théorème de Gauss-Wantzel).

Gauss avait dit "Si un polygone régulier possède n côtés et si n est une puissance de 2 ou est le produit d'une puissance de 2 et de k nombres de Fermat premiers différents alors ce polygone est constructible", mais il n'avait pas demontre la reciproque, ce qu'a fait par la suite Wantzel.

Comme on ne connait aujourd'hui que 5 nombres de Fermat premier (3, 5, 17, 257, 65537), on sait que les polygones reguliers convexes constructbles a la regle et au compas ont le nombre de cote suivant : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, 120, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257, 272, 320, 340, 384, 408, 480, 510, 512....

(mais bon courage a celui qui veut tracer un 65537-gone a la regle et au compas. !

Son maître d’Ecole ( à Gauss) donne à la classe un exercice supposant les occuper un bon moment : calculer la somme des entiers de 1 à 100. Il trouva facilement le théorème n(n+1)/2 . Il avait 9 ans.


Tous les commentaires (57)

Dire que moi je galère a tracer un trait droit a la règle...

Commentaire supprimé heptadecagone...
Pour un heptagone ce n'est pas possible, c'est même démontré mathématiquement.
Gauss a même par la suite enonce un theoreme pour savoir si un polygone régulier convexe est traçable a la règle et au compas (Théorème de Gauss-Wantzel).

Gauss avait dit "Si un polygone régulier possède n côtés et si n est une puissance de 2 ou est le produit d'une puissance de 2 et de k nombres de Fermat premiers différents alors ce polygone est constructible", mais il n'avait pas demontre la reciproque, ce qu'a fait par la suite Wantzel.

Comme on ne connait aujourd'hui que 5 nombres de Fermat premier (3, 5, 17, 257, 65537), on sait que les polygones reguliers convexes constructbles a la regle et au compas ont le nombre de cote suivant : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, 120, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257, 272, 320, 340, 384, 408, 480, 510, 512....

(mais bon courage a celui qui veut tracer un 65537-gone a la regle et au compas. !

Commentaire supprimé Toujours les mêmes questions...Ce genre de decouverte peut en favoriser d'autres qui en favoriseront d'autre etc. Le jour où l'on a découvert que la lumière était une onde on pouvait se dire "à quoi ça sert??" Et bien, quand je suis au ski je suis bien content d'avoir des lunettes de soleil qui jouent sur ce phénomène !

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Cette anecdote nous montre comme le disait Jean Rostand qu'il n'y a pas de mathématiques modernes . Ces deux mots anodins font pourtant régner la terreur dans des milliers de foyer où les parents, angoissés, "sèchent" sur des problèmes donnés à leur fils en quatrième .

Son maître d’Ecole ( à Gauss) donne à la classe un exercice supposant les occuper un bon moment : calculer la somme des entiers de 1 à 100. Il trouva facilement le théorème n(n+1)/2 . Il avait 9 ans.

Est-ce lui qui a inventé la courbe de Gauss?

a écrit : Est-ce lui qui a inventé la courbe de Gauss? Oui la gaussienne utilisé par exemple en statistique.

Gauss était un "fou" des nombres et ses nombreux travaux sont utilisés dans de nombreux domaines : astronomie, physique, mathématiques "pures" et même en bourse (fonction gaussienne et probabilités)..

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a écrit : Son maître d’Ecole ( à Gauss) donne à la classe un exercice supposant les occuper un bon moment : calculer la somme des entiers de 1 à 100. Il trouva facilement le théorème n(n+1)/2 . Il avait 9 ans. Non c'est pas à toute la classe mais seulement à lui comme il terminait tous les exercices avant les autres

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Pour anecdote, il a été très amis avec une mathématicienne française (oui vous lisez bien) du nom de Sophie Germain aujourd'hui assez peu connus mais dont les échanges épistollaires avec Gauss montrait tout son génie. C'est d'ailleurs grâce à elle et son influence que Gauss fut protégé par les troupes françaises pendant les guerres napoléoniennes.
fr.m.wikipedia.org/wiki/Sophie_Germain

Il me semble qu'il est aussi considéré comme le dernier mathématicien à avoir durant sa vie connu tous les recoins des mathématiques connus à l'époque ; en effet ce n'est plus possible pour personne de nos jours car l'étendue de ce qui a été découvert est trop vaste pour être étudié en une seule vie.

a écrit : Non c'est pas à toute la classe mais seulement à lui comme il terminait tous les exercices avant les autres Je suis navré de te dire qu'il a raison :
Wolfgang Sartorius (celui par qui l'anecdote est connue disait : "Le jeune Gauss venait juste d'arriver dans cette classe quand Büttner (le prof) donna en exercice la sommation d'une suite arithmétique. À peine avait-il donné l'énoncé que le jeune Gauss jeta son ardoise sur la table en disant « la voici ». Tandis que les autres élèves continuaient à compter, multiplier et ajouter, Büttner, avec une dignité affectée, allait et venait, jetant de temps en temps un regard ironique et plein de pitié vers le plus jeune de ses élèves. Le garçon restait sagement assis, son travail terminé, aussi pleinement conscient qu'il devait toujours l'être, une fois une tâche accomplie, que le problème avait été correctement résolu et qu'il ne pouvait y avoir d'autre réponse"

a écrit : Son maître d’Ecole ( à Gauss) donne à la classe un exercice supposant les occuper un bon moment : calculer la somme des entiers de 1 à 100. Il trouva facilement le théorème n(n+1)/2 . Il avait 9 ans. Pikaatchoum peux-tu éclairer ma lanterne sur ce théorème n(n+1)/2 ? Merci

@rimisiac : Le plus dur étant tout de même de faire des polygones à un ou deux côté(s) !

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L'effet "flou gaussien" que j'applique à mes images sous photoshop doit venir d'un autre "gauss" ;) le génie de celui dont parle l'anecdote n'a visiblement rien de flou... impressionnant de lire ce que certains parviennent à réaliser, si jeune en plus !

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a écrit : Il me semble qu'il est aussi considéré comme le dernier mathématicien à avoir durant sa vie connu tous les recoins des mathématiques connus à l'époque ; en effet ce n'est plus possible pour personne de nos jours car l'étendue de ce qui a été découvert est trop vaste pour être étudié en une seule vie. Henri poincaré est condidéré actuellement comme l'un (le?) dernier mathématicien maitrisant l'ensemble des branches des mathématiques de son temps (savant universel).
fr.m.wikipedia.org/wiki/Polymathe
fr.m.wikipedia.org/wiki/Henri_Poincaré

Pour le théorème, il suffit de remarquer que l'addition du premier et du dernier chiffre fait 101 (100+1). En allant dans le sens des nombres croissants en partant du 1 et décroissant en partant du 100 on obtient toujours 101 (101+1-1=101). Ainsi tu réalises la sommation de 50 (100/2) termes dont le résultat est toujours 101 ok?
Donc le résultat est : (100/2)*101.
Pour la généralisation a n nombres la récurrence est de mise.

a écrit : L'effet "flou gaussien" que j'applique à mes images sous photoshop doit venir d'un autre "gauss" ;) le génie de celui dont parle l'anecdote n'a visiblement rien de flou... impressionnant de lire ce que certains parviennent à réaliser, si jeune en plus ! Si si c'est le même :
En gros, avec un flou gaussien, l'image d'un point est étalée autour de ce point, selon la courbe de Gauss (exponentielle de moins X au carré) centrée sur ce point.Cet étalement très régulier, avec de moins en moins de lumière au fur et à mesure que l'on s'éloigne du point, donne un bokeh très doux et "crémeux", difficile à atteindre avec un objectif réel d'ailleurs..

J'espère ne pas avoir été trop flou ds l'explication.

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Je vais faire mon en***eur de mouches mais la formulation me paraît inexacte. L'anecdote dit "un heptadécagone (polygone régulier à 17 côtés)". Un heptadécagone est juste un polygone à 17 côtés. Mais Gauss a réussi à construire un heptadécagone régulier. Construire un heptadécagone quelconque est à la portée de n'importe qui.

a écrit : Pikaatchoum peux-tu éclairer ma lanterne sur ce théorème n(n+1)/2 ? Merci C'est pas un "théorème", c'est juste une petite formule qui se démontre trivialement par récurrence. Si ca t’intéresse il suffit de vérifier que c'est vrai pour 2 et qu'en supposant que ca marche à un rang n vérifier que n(n+1)/2 + n+1 =( n+1)*(n+2)/2.

a écrit : L'effet "flou gaussien" que j'applique à mes images sous photoshop doit venir d'un autre "gauss" ;) le génie de celui dont parle l'anecdote n'a visiblement rien de flou... impressionnant de lire ce que certains parviennent à réaliser, si jeune en plus ! En fait si.

Le flou Gaussien est une fonction de floutage (atténuation des intensités, mélange des couleurs en pixel proches) utilisant une méthode qui, pour un pixel donné, prend en compte d’avantage les pixels proches et un peu moins les pixels lointains.
La fonction de pondération de chaque pixel est une courbe de distribution "normale" dite "de Gauss".

Gauss a fait d’énormes avancées en optique, en math, en physique, en géométrie et en plein d’autres trucs.

Ses travaux en math ont des applications absolument partout : on le retrouve dans tous les domaines de la physique, des statistiques (qu’il a révolutionné), de l’économie, des maths pures…

en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_blur
fr.wikipedia.org/wiki/Loi_de_Gauss
fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Gauss
fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Gauss_%28%C3%A9lectromagn%C3%A9tisme%29
fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Gauss_%28gravitation%29