Froufrou42 a écrit : Dire "qui a exactement 2 diviseurs" (la définition d'un nombre premier) exclut bien le 1; en revanche ca n'est pas équivalent à dire "divisible par 1 et par lui même" (même avec un ET au lieu d'un OU), car le nombre 1 est bien divisible par 1 ET par lui-même. Oui effectivement, c'était pour reprendre la formulation de l'anecdote (en montrant ce qu'il fallait corriger) mais la deuxième définition que j'emploie est bien plus juste.

Ce qui m'embêtait surtout c'est qu'en mathématiques (à l'inverse du langage courant), le « OU » est inclusif (soit l'un, soit l'autre, soit les deux). Le ET en mathématiques implique forcément que les deux propositions soient vraies. Mais effectivement si les deux propositions sont identiques, elles peuvent être vraies toutes les deux.

kepotx a écrit : Une conjecture est une hypothèse dont on a pas encore prouvé (ou réfuté) sa véracité, ni trouvé de contre-exemple. En gros, ça a l'air de marcher avec tout les exemples qu'on a calculé pour l'instant (dans le cas de l'anecdote, jusqu’à 4x10^18), mais on est pas a l'abri que ça se révèle faux pour des nombres plus grand.

Bien évidemment, il est commun qu'une conjecture se révèle fausse, on peut par exemple parler d'une conjecture qu'avait fait Fermat sur ce qu'on appelle justement un nombre de Fermat, a savoir un nombre qu'on peut écrire sous la forme (2^2^n) + 1. La conjecture portait sur le fait que le résultat de ces nombre la étaient premiers :
2^2^0 + 1 donne 3
2^2^1 + 1 donne 5
2^2^2 + 1 donne 17
2^2^3 + 1 donne 257
2^2^5 + 1 donne 65537
tout ces résultats sont premiers, mais presque un siècle plus tard, Euler montre que le prochain nombre de Fermat est divisible par 641. La conjecture est désormais réfutée.
Aujourd'hui, on sait que les nombres de Fermat entre F5 et F32 sont tous composés, mais à partir de F33 c'est de nouveau l'inconnu, car on ne sait toujours pas si il est composé ou non.
Euler avait lui-meme posé une conjecture en 1772 : "Pour tout entier n strictement supérieur à 2, la somme de n – 1 puissances n-ièmes n'est pas une puissance n-ième". Cette conjecture ne fut infirmé qu'en 1966

Pour revenir à Fermat, on peut également parler de la dernière théorie de Fermat :
Il n'existe pas de nombres entiers strictement positifs x, y et z tels que : x^n + y^n = z^n dès que n est un entier strictement supérieur à 2.

Quand Fermat coucha sa théorie sur le papier, il avait précisé qu'il avait trouvé une démonstration merveilleuse pour la démontrer, mais la marge était trop petite pour l'écrire. Il a fallu trois siècles pour qu'un britannique, Andrew Wiles, le prouve en 1994 Afficher tout Le livre "le dernier théorème de Fermat" racconte comment a travers les âges les plus grand·es mathématicien·nes se sont cassé les dents sur ce problème et on fait petit a petit avancer sa résolution jusqu'à la preuve de Wiles. C'est un de mes livres préféré, il parle d'Histoire a travers des histoires et est très abordable même pour les non-matheux (sauf le dernier chapitre qui explique le travail de Wiles qui est un peu plus velu...)

TybsXckZ a écrit : Pour fixer le vocabulaire, voici les éléments utilisés en mathématiques lorsque l'on cherche à prouver une proposition.

Pour les fondements on utilise :
- des axiomes : assertions indéniables admise sans preuve ("évident en soi, par nature" comme l'axiome de Peano)
- des postulats : assertions discutables admis sans preuve ("semble intuitivement incontestable" comme les postulats d'Euclide)
- des hypothèses : propriétés supposée vraies
- des conclusions d'autres démonstrations

Ces éléments sont mis à l'épreuve de la démonstration et du raisonnement logique.

Il en ressort des éléments de conclusions :
- des théorèmes : assertions prouvées par raisonnement logiques à partir des fondements initiaux et du raisonnement logique.
- des corollaires : assertions qui découlent logiquement des théorèmes (généralement des cas particuliers de théorèmes)
- des réciproques : quand c'est possible, la réciproque du théorème énoncé
- des lemmes : théorèmes "peu importants" ou assertions intermédiaires nécessaires au raisonnement du théorème principal.

Le théorème prouvé peut ensuite être transformé en règle (utilisé pour des cas pratiques), en loi (utilisé sur une infinité de cas), en identité (mise sous forme d'égalité de variables quel que soit les valeurs).

Et enfin il existe les conjectures qui sont des assertions non démontrées mais dont la suspicion de véracité est élevée et prouvée sur de multiples cas particulier. Il manque la démonstration et le raisonnement logique à partir des fondements pour établir que cette conjecture est vraie sur une quantité infinie. Afficher tout Assez causé,
Maintenant il faut nous poser la conjecture à minima le postulat pour trouver un nombre premier à tous les coups.

Doliprane siouplè !

TybsXckZ a écrit : Elle est tout autant valable à partir de 1 vu que 1 n'est pas un nombre premier et que le produit vide est égal à 1.

Théorème fondamental de l'arithmétique :
Tout entier strictement positif peut être écrit comme un produit de nombres premiers d'une unique façon, à l'ordre près des facteurs. Au temps pour moi, je n'avais pas vu cette subtilité pour 1.

Si je comprends bien cette anecdote, on se perd encore en conjectures…

TybsXckZ a écrit : Petite correction sur la définition : un nombre premier est un nombre divisible uniquement par 1 ET lui-même soit exactement deux diviseurs distincts entiers et positifs.
Cette définition fait sortir le 1 du groupe des nombres premiers.

Si on exclut le 1, c'est pour une raison simple. Tout entier naturel se décompose d’une unique manière comme produit de nombres premiers. Si on inclut le 1 alors cette décomposition peut s'écrire 1 x 1 x 1 x.... x Y x Z et perd son unicité. Afficher tout En effet, l'anecdote propose une définition éronnée car sans préciser diviseur entier et positif tous les nombres seraient premiers.

Gguil81 a écrit : En effet, l'anecdote propose une définition éronnée car sans préciser diviseur entier et positif tous les nombres seraient premiers. Quand on dit "N est divisible par k" en mathématiques, cela signifie nécessairement que N et k sont des entiers, et que le résultat de N divisé par k est aussi un entier.
"Qui est multiple du nombre spécifié, qui admet pour diviseur le nombre spécifié, en parlant d'un nombre entier. — Note d'usage : Le terme est suivi de la préposition par. Douze est divisible par quatre."

Le seul petit reproche qu'on peut faire est le problème du " n'est divisible que par 1 et par lui-même", il faudrait ajouter que 1 et lui-même doivent être distincts.

Agathe33 a écrit : Quand on dit "N est divisible par k" en mathématiques, cela signifie nécessairement que N et k sont des entiers, et que le résultat de N divisé par k est aussi un entier.
"Qui est multiple du nombre spécifié, qui admet pour diviseur le nombre spécifié, en parlant d'un nombre entier. — Note d'usage : Le terme est suivi de la préposition par. Douze est divisible par quatre."

Le seul petit reproche qu'on peut faire est le problème du " n'est divisible que par 1 et par lui-même", il faudrait ajouter que 1 et lui-même doivent être distincts. Afficher tout Que n et k soient par convention des entiers naturels je suis d'accord car nous avons l'ensemble N. Mais cela ne suffirait pas ici car n et k ne sont pas précisé dans l'anecdote. ^^

J'espère que demain on abordera le lemme de Gausse et les polynômes irréductibles ^^

Si ça peut en rassurer certain, les mathématiques sont très vastes et on ne parle pas toujours que de nombres. On voit passer beaucoup d'annecdotes sur les nombres parce qu'elles s'énoncent très facilement mais il y a d'autres exemple très accessibles et marquants je trouve.

Prenez le théorème de Pythagore que tout le monde a croisé (parfois avec beaucoup de frustration ;) ) il sert depuis des millénaires (littéralement puisqu'attesté chez les Egyptiens) à faire tout bêtement un angle droit avec une corde ou une règle pliante. Ça a permis d'organiser la société en créant des parcelle de terrain, ou encore de construire les cathédrales. Demandez à un enfant "qui est la personne qui a fabriqué la première équerre", sans avoir lui même d'équerre, les réponses sont assez marrantes !

Souvent associé parce que vu en même temps, le théorème de Thalès est une belle illustration, abstraite, de la perspective dans les tableaux.

J'aimerais pouvoir parler des nombres complexes qui font peur à beaucoup et qui sont pourtant omniprésents dans la vie de tous les jours (à travers la transformée de Fourier et l'algorithme FFT qui est partout) mais c'est plus difficile à introduire sans vocabulaire mathématique je trouve ! Pour une future anecdote peut être :)

Lvidal a écrit : Si ça peut en rassurer certain, les mathématiques sont très vastes et on ne parle pas toujours que de nombres. On voit passer beaucoup d'annecdotes sur les nombres parce qu'elles s'énoncent très facilement mais il y a d'autres exemple très accessibles et marquants je trouve.

Prenez le théorème de Pythagore que tout le monde a croisé (parfois avec beaucoup de frustration ;) ) il sert depuis des millénaires (littéralement puisqu'attesté chez les Egyptiens) à faire tout bêtement un angle droit avec une corde ou une règle pliante. Ça a permis d'organiser la société en créant des parcelle de terrain, ou encore de construire les cathédrales. Demandez à un enfant "qui est la personne qui a fabriqué la première équerre", sans avoir lui même d'équerre, les réponses sont assez marrantes !

Souvent associé parce que vu en même temps, le théorème de Thalès est une belle illustration, abstraite, de la perspective dans les tableaux.

J'aimerais pouvoir parler des nombres complexes qui font peur à beaucoup et qui sont pourtant omniprésents dans la vie de tous les jours (à travers la transformée de Fourier et l'algorithme FFT qui est partout) mais c'est plus difficile à introduire sans vocabulaire mathématique je trouve ! Pour une future anecdote peut être :) Afficher tout Ouais enfin Thalès parle de rapport entre des nombres, et Pythagore est une égalité entre des nombres...c'est pas terrible comme exemples pour dire qu'il n'y a pas que des nombres en maths.
Et les nombres complexes sont bien des nombres...

Si tu veux parler de maths sans nombres, tu peux éventuellement parler de géométrie projective, ou de géométrie vectorielle. Et encore, il y a des nombres. La théorie des graphes, c'est génial, avec l'algorithme de Dijkstra...sauf qu'il y a encore des nombres.

En mathématiques, on aime quand même énormément mettre des informations chiffrées.

Si tu veux, tu peux faire de la géométrie pure avec uniquement un crayon, une règle et un compas. Tracer des vecteurs. Ici il y aura peu de nombres, mais il y en aura quand même toujours.


Une fois j'ai demandé à mes élèves ce qu'ils feraient pour montrer à des aliens qui les auraient enlevés qu'ils sont des êtres évolués. Les réponses ont été amusantes et intéressantes (je fabrique du feu, je me mets à danser, je parle la langue des signes...j'écris le théorème de Thalès, j'écris le théorème de Pythagore). La mienne : je trace un cercle, et je représente la propriété de l'angle au centre. Ou aussi je trace la preuve géométrique de Pythagore, sans calcul.
Bah oui, on ne sait pas si les aliens savent déchiffrer nos nombres ou s'ils connaissent la base 10. Donc un dessin, c'est mieux.
Et puis le feu...c'est quand même sacrément dangereux, dans un vaisseau spacial !

Agathe33 a écrit : Ouais enfin Thalès parle de rapport entre des nombres, et Pythagore est une égalité entre des nombres...c'est pas terrible comme exemples pour dire qu'il n'y a pas que des nombres en maths.
Et les nombres complexes sont bien des nombres...

Si tu veux parler de maths sans nombres, tu peux éventuellement parler de géométrie projective, ou de géométrie vectorielle. Et encore, il y a des nombres. La théorie des graphes, c'est génial, avec l'algorithme de Dijkstra...sauf qu'il y a encore des nombres.

En mathématiques, on aime quand même énormément mettre des informations chiffrées.

Si tu veux, tu peux faire de la géométrie pure avec uniquement un crayon, une règle et un compas. Tracer des vecteurs. Ici il y aura peu de nombres, mais il y en aura quand même toujours.


Une fois j'ai demandé à mes élèves ce qu'ils feraient pour montrer à des aliens qui les auraient enlevés qu'ils sont des êtres évolués. Les réponses ont été amusantes et intéressantes (je fabrique du feu, je me mets à danser, je parle la langue des signes...j'écris le théorème de Thalès, j'écris le théorème de Pythagore). La mienne : je trace un cercle, et je représente la propriété de l'angle au centre. Ou aussi je trace la preuve géométrique de Pythagore, sans calcul.
Bah oui, on ne sait pas si les aliens savent déchiffrer nos nombres ou s'ils connaissent la base 10. Donc un dessin, c'est mieux.
Et puis le feu...c'est quand même sacrément dangereux, dans un vaisseau spacial ! Afficher tout Ca me rapelle le vieux film "La planète des singes, celui des années 60, où le héros dessine dans le sable le dessin géométrique de la formule de Pythagore, c'est une bonne idée, quand on est "intelligent" mais avec un slip en peau de bête et qu'on est enfermé dans une cage. ^^

Sinon, le feu n'est pas plus dangereux dans un vaisseau spatial que dans un appartement, c'est d'en perdre le contrôle qui est dangereux^^, je trouve que c'est une bonne idée. Mais dessiner, quoi que ce soit, Pythagore, un smiley où même maladroitement la silhouette de l'extraterrestre où la notre me semble une bonne approche.
Après, les maths sont universels, comme la physique.

Agathe33 a écrit : Ouais enfin Thalès parle de rapport entre des nombres, et Pythagore est une égalité entre des nombres...c'est pas terrible comme exemples pour dire qu'il n'y a pas que des nombres en maths.
Et les nombres complexes sont bien des nombres...

Si tu veux parler de maths sans nombres, tu peux éventuellement parler de géométrie projective, ou de géométrie vectorielle. Et encore, il y a des nombres. La théorie des graphes, c'est génial, avec l'algorithme de Dijkstra...sauf qu'il y a encore des nombres.

En mathématiques, on aime quand même énormément mettre des informations chiffrées.

Si tu veux, tu peux faire de la géométrie pure avec uniquement un crayon, une règle et un compas. Tracer des vecteurs. Ici il y aura peu de nombres, mais il y en aura quand même toujours.


Une fois j'ai demandé à mes élèves ce qu'ils feraient pour montrer à des aliens qui les auraient enlevés qu'ils sont des êtres évolués. Les réponses ont été amusantes et intéressantes (je fabrique du feu, je me mets à danser, je parle la langue des signes...j'écris le théorème de Thalès, j'écris le théorème de Pythagore). La mienne : je trace un cercle, et je représente la propriété de l'angle au centre. Ou aussi je trace la preuve géométrique de Pythagore, sans calcul.
Bah oui, on ne sait pas si les aliens savent déchiffrer nos nombres ou s'ils connaissent la base 10. Donc un dessin, c'est mieux.
Et puis le feu...c'est quand même sacrément dangereux, dans un vaisseau spacial ! Afficher tout Effectivement j'ai mal formulé ! Je remarque que beaucoup d'anecdotes s'intéressent à la theorie des nombres (donc une petite partie des mathématiques, ou en tout cas plus fondamentale) parce que les résultats sont souvent simples à formuler et les histoires associés un peu "sexy" à raconter, du type théorème de Fermat. De mon côté je comprends mieux l'aspect physique, pratique ou imagé d'un théorème et je lutte souvent pour en comprendre l'aspect purement abstrait. Je trouve intéressant de mettre cet aspect en avant aussi !

Belle expérience avec tes élèves !