Le nombre 0,999... qui s’écrit avec une suite sans fin de 9 est exactement égal à 1, et non pas “presque égal”. L’égalité 0,999… = 1 est depuis longtemps acceptée par les mathématiciens, mais ce n’est que durant les dernières décennies qu’on a commencé à étudier comment les élèves la perçoivent.
On peut facilement s’en convaincre en faisant le calcul suivant : 1/3 =0,333… /// 3*1/3 = 3*0.333… /// 1 = 0.999…
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C'est plutôt précis à 99,99...%
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C'est un résultat que l'on voit en tout début de prépa à mon époque. Je n'ai jamais trouvé ca choquant, mais très amusant.
Et on parle bien du nombre avec l'écriture "...". Qui a signification particulière dans ce cas, ce ne sont pas juste des points de suspension par flemme d'écrire.
Oui les "…" sont la clé, pour indiquer qu’on parle de la suite sans fin de 9.
Cest subtil mais juste.
0,9... = 1 oui
Et pourtant 0,999999 quelle que soit la nombre de 9 est toujours strictement inférieur à 1. Mais un nombre infini de 9 fait passer a 1
Oui c'est subtil. Et c'est justement ca qu' étudient les chercheurs en enseignement, comment les élèves perçoivent cette égalité versus leur intuition.
D’après mes souvenirs d’il y a 60 ans, c’est juste que 1 est la limite de la suite 0,999…
Dans un cas, on a une suite de nombres décimaux, dans l’autre un nombre déterminé.
Pour être 100% précis, l'écriture 0,999… ne parle pas de la suite, elle parle de son aboutissement. Et cet aboutissement, c'est 1, exactement.
C'est plutôt précis à 99,99...%
Elle est bien placée celle-là ! :-)
J’ai toujours pensé qu’on n’avait pas découvert les mathématiques mais qu’on les avait inventées, ce qui explique ce genre de petites imperfections.
J’ai peut-être tort, mais je considère que les mathématiques n’existent pas dans la nature. C’est un outil redoutablement efficace créé par l’homme pour expliquer son environnement.
S’il y a des matheux de haut niveau, j’aimerais bien connaître votre point de vue. 
[je suis pas du tout matheux de haut niveau, j'aimerais aussi l'avis de personne compétentes] je dirais que l'on découvre des mathématiques, mais que pour cela, il faut parfois inventer des notations, des symboles, des outils...
quand a son existence dans la nature, au delà du fait qu'on peut voir beaucoup de mathématique dans la nature, ce qu'il y a de beau avec les maths c'est justement qu'ils n'ont pas besoin d’exister dans la nature pour exister
Il y a aussi une composante psychologique à cette étrangeté mathématique. Grosso modo, on affirme que même s'il y a une subtilissime différence entre deux nombres, on les consídère comme équivalents. Soit.
Et pourtant, il suffit d'aller dans n'importe quel magasin pour voir des prix : 5,99 EUR (et pas 6 EUR) pour un kinder bueno, ou même 3599,99 EUR pour des télé dernier cris (je dis au pif, hein)
On comprend bien que les 9 de la fin, diminuent d'une unité les nombres du début, pourque le prix final paraisse moins cher. Pourtant. on va sur leboncoin, la plupart des personnes ne s'embêtent pas avec ce biais cognitif (tiens, ca me rappelle un article récent ;) ) 20 balles c'est 20 balles ! à prendre ou à laisser.
Sinon, j'avais aussi une autre théorie pour expliquer ça : avant les cartes bancaires, on payait en espèces. Et peut-être que recevoir de la monnaie était perçu (quasi-inconsciemment) comme quelque chose de positif : "je pars avec un objet que je voulais, et EN PLUS on me "file" de l'argent. Oui, c'était même mon argent dés le départ, enfin, ce qu'il en reste.
Je suis d'accord à 99,999...%!
C'est mathématiquement juste mais sans doute perçu faux par quelques élèves !
Il ne s’agit de « la suite » mais d’un objet mathématique dénommé « suite ».
Et une « suite » de ce type en mathématiques a une « limite » qui en l’occurrence est 1 qui pourrait s’exprimer : quel que soit le nombre de 9, le nombre 0,999… est inférieur à 1. Autrement dit, on s’approche indéfiniment de 1 sans jamais l’atteindre.
On étudiait ça à l’université en 1ere année d’études de maths/physique, en « analyse ».
A moins que le vocabulaire mathématique ait changé depuis 60 ans ce qui est fort possible mais quel que soit le langage, cela reste une vérité mathématique.
Un autre exemple mathématique : la « suite » 1/n où n est un nombre entier a pour « limite » 0 car quel que soit n, 1/n > 0.
Je n'ai jamais eu de mal à accepter que 0.999999 a l'infini soit égal à 1. En revanche je trouvais contre intuitif que la série harmonique 1+1/2+1/3+1/4+....+1/n tende vers l'infini. A partir d'un certain 'n' le 1/n qu'on rajoute à chaque fois me semblait si faible que je n'arrivais pas à croire qu'on pouvait arriver à l'infini.
Pour prendre la métaphore de la piscine olympique chère a certains lecteurs de scmb, je ne concevais pas qu'on pouvait remplir une piscine olympique avec 1 verre d'eau + 1/2 verre d'eau+ 1/3 de verre etc
T'as pas compris, il n'y a pas de subtile différence, c'est égal, pas considéré égal parce qu'a peine différent, mais égal. Regarde la 2eme partie de la vidéo.
Il faudrait e9.999.999.4 versement pour remplir la piscine avec un verre de 25cl, soit plus que le nombre de particules dans l'univers visible. Pour écrire le résultat il faudrait utiliser 4.34 millions de chiffres à la suite ^^
Oui mais assez curieusement les mathématiques en créant des objets « intellectuels » et « non palpables », du fait de leur logique ont des applications « palpables » fortement utiles.
Un prof de maths nous a dit un jour : « le développement des mathématiques n’est pas totalement abstrait : les mathématiques ne constituent pas une immense tautologie ».
D’ailleurs, si les physiciens utilisent des outils mathématiques, ils ne sont pas plus mathématiciens que ces derniers sont physiciens.
Mathématiques et physique sont des concepts étrangers dans leur esprit.
Au temps pour moi. C'est surtout le côté psychologique avec les prix que je voulais mettre en exergue, et non pas le côté purement mathématique. Mais en soi, tu as raison. L'un égale l'autre ;)
On parle de langage mathématique, et j'ai mis longtemps à penser à la pertinence de cette expression. Un langage n'est pas concret ou abstrait, naturel ou inventé, c'est"juste" une capacité cognitive d'appréhender les choses, une façon ou un filtre entre la réalité et ce que nous en percevons, la façon dont nos neurones réagissent à une formule... les mathématiques sont donc un langage, une expression, au même titre qu'une image, un son, des mots, une langue, une danse, la parade d'un paon, etc. Lorsqu'on apprend une nouvelle langue, on ne découvre rien de nouveau dans la nature, on ne l'invente pas non plus, on ne modifie pas la nature, mais on la nomme, et si on est un peu philosophe, on s'intègre dedans et on interagit avec, puisqu'on nomme ce qu'on a observé, compris.
D'ailleurs, j'avais pensé à cela dans une réplique dans oppenheimer, lorsqu'un physicien méprise un mathématicien (alors que notre système éducatif en fait un domaine "noble"), car il considère les maths comme un simple outil pratique, dépourvu de sens, là où la physique tend vers une explication de la vie, de dieu, etc... en comprenant le monde.