Formulée en 1742, la conjecture de Goldbach n'est toujours pas prouvée aujourd'hui. Elle s'énonce pourtant assez simplement : "Tout nombre entier pair supérieur à 3 peut s’écrire comme la somme de deux nombres premiers." Par exemple, 10 = 3 + 7 (ou 5 + 5). Les calculs sur ordinateur montrent que la conjecture est vraie au moins jusqu'à 4x10^18.
Pour rappel, un nombre premier est un nombre divisible uniquement par un et lui-même.
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Petite correction sur la définition : un nombre premier est un nombre divisible uniquement par 1 ET lui-même soit exactement deux diviseurs distincts entiers et positifs.
Cette définition fait sortir le 1 du groupe des nombres premiers.
Si on exclut le 1, c'est pour une raison simple. Tout entier naturel se décompose d’une unique manière comme produit de nombres premiers. Si on inclut le 1 alors cette décomposition peut s'écrire 1 x 1 x 1 x.... x Y x Z et perd son unicité.
Pour fixer le vocabulaire, voici les éléments utilisés en mathématiques lorsque l'on cherche à prouver une proposition.
Pour les fondements on utilise :
- des axiomes : assertions indéniables admise sans preuve ("évident en soi, par nature" comme l'axiome de Peano)
- des postulats : assertions discutables admis sans preuve ("semble intuitivement incontestable" comme les postulats d'Euclide)
- des hypothèses : propriétés supposée vraies
- des conclusions d'autres démonstrations
Ces éléments sont mis à l'épreuve de la démonstration et du raisonnement logique.
Il en ressort des éléments de conclusions :
- des théorèmes : assertions prouvées par raisonnement logiques à partir des fondements initiaux et du raisonnement logique.
- des corollaires : assertions qui découlent logiquement des théorèmes (généralement des cas particuliers de théorèmes)
- des réciproques : quand c'est possible, la réciproque du théorème énoncé
- des lemmes : théorèmes "peu importants" ou assertions intermédiaires nécessaires au raisonnement du théorème principal.
Le théorème prouvé peut ensuite être transformé en règle (utilisé pour des cas pratiques), en loi (utilisé sur une infinité de cas), en identité (mise sous forme d'égalité de variables quel que soit les valeurs).
Et enfin il existe les conjectures qui sont des assertions non démontrées mais dont la suspicion de véracité est élevée et prouvée sur de multiples cas particulier. Il manque la démonstration et le raisonnement logique à partir des fondements pour établir que cette conjecture est vraie sur une quantité infinie.
Une conjecture est une hypothèse dont on a pas encore prouvé (ou réfuté) sa véracité, ni trouvé de contre-exemple. En gros, ça a l'air de marcher avec tout les exemples qu'on a calculé pour l'instant (dans le cas de l'anecdote, jusqu’à 4x10^18), mais on est pas a l'abri que ça se révèle faux pour des nombres plus grand.
Bien évidemment, il est commun qu'une conjecture se révèle fausse, on peut par exemple parler d'une conjecture qu'avait fait Fermat sur ce qu'on appelle justement un nombre de Fermat, a savoir un nombre qu'on peut écrire sous la forme (2^2^n) + 1. La conjecture portait sur le fait que le résultat de ces nombre la étaient premiers :
2^2^0 + 1 donne 3
2^2^1 + 1 donne 5
2^2^2 + 1 donne 17
2^2^3 + 1 donne 257
2^2^5 + 1 donne 65537
tout ces résultats sont premiers, mais presque un siècle plus tard, Euler montre que le prochain nombre de Fermat est divisible par 641. La conjecture est désormais réfutée.
Aujourd'hui, on sait que les nombres de Fermat entre F5 et F32 sont tous composés, mais à partir de F33 c'est de nouveau l'inconnu, car on ne sait toujours pas si il est composé ou non.
Euler avait lui-meme posé une conjecture en 1772 : "Pour tout entier n strictement supérieur à 2, la somme de n – 1 puissances n-ièmes n'est pas une puissance n-ième". Cette conjecture ne fut infirmé qu'en 1966
Pour revenir à Fermat, on peut également parler de la dernière théorie de Fermat :
Il n'existe pas de nombres entiers strictement positifs x, y et z tels que : x^n + y^n = z^n dès que n est un entier strictement supérieur à 2.
Quand Fermat coucha sa théorie sur le papier, il avait précisé qu'il avait trouvé une démonstration merveilleuse pour la démontrer, mais la marge était trop petite pour l'écrire. Il a fallu trois siècles pour qu'un britannique, Andrew Wiles, le prouve en 1994
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Petite correction sur la définition : un nombre premier est un nombre divisible uniquement par 1 ET lui-même soit exactement deux diviseurs distincts entiers et positifs.
Cette définition fait sortir le 1 du groupe des nombres premiers.
Si on exclut le 1, c'est pour une raison simple. Tout entier naturel se décompose d’une unique manière comme produit de nombres premiers. Si on inclut le 1 alors cette décomposition peut s'écrire 1 x 1 x 1 x.... x Y x Z et perd son unicité.
Pour fixer le vocabulaire, voici les éléments utilisés en mathématiques lorsque l'on cherche à prouver une proposition.
Pour les fondements on utilise :
- des axiomes : assertions indéniables admise sans preuve ("évident en soi, par nature" comme l'axiome de Peano)
- des postulats : assertions discutables admis sans preuve ("semble intuitivement incontestable" comme les postulats d'Euclide)
- des hypothèses : propriétés supposée vraies
- des conclusions d'autres démonstrations
Ces éléments sont mis à l'épreuve de la démonstration et du raisonnement logique.
Il en ressort des éléments de conclusions :
- des théorèmes : assertions prouvées par raisonnement logiques à partir des fondements initiaux et du raisonnement logique.
- des corollaires : assertions qui découlent logiquement des théorèmes (généralement des cas particuliers de théorèmes)
- des réciproques : quand c'est possible, la réciproque du théorème énoncé
- des lemmes : théorèmes "peu importants" ou assertions intermédiaires nécessaires au raisonnement du théorème principal.
Le théorème prouvé peut ensuite être transformé en règle (utilisé pour des cas pratiques), en loi (utilisé sur une infinité de cas), en identité (mise sous forme d'égalité de variables quel que soit les valeurs).
Et enfin il existe les conjectures qui sont des assertions non démontrées mais dont la suspicion de véracité est élevée et prouvée sur de multiples cas particulier. Il manque la démonstration et le raisonnement logique à partir des fondements pour établir que cette conjecture est vraie sur une quantité infinie.
Une conjecture est une hypothèse dont on a pas encore prouvé (ou réfuté) sa véracité, ni trouvé de contre-exemple. En gros, ça a l'air de marcher avec tout les exemples qu'on a calculé pour l'instant (dans le cas de l'anecdote, jusqu’à 4x10^18), mais on est pas a l'abri que ça se révèle faux pour des nombres plus grand.
Bien évidemment, il est commun qu'une conjecture se révèle fausse, on peut par exemple parler d'une conjecture qu'avait fait Fermat sur ce qu'on appelle justement un nombre de Fermat, a savoir un nombre qu'on peut écrire sous la forme (2^2^n) + 1. La conjecture portait sur le fait que le résultat de ces nombre la étaient premiers :
2^2^0 + 1 donne 3
2^2^1 + 1 donne 5
2^2^2 + 1 donne 17
2^2^3 + 1 donne 257
2^2^5 + 1 donne 65537
tout ces résultats sont premiers, mais presque un siècle plus tard, Euler montre que le prochain nombre de Fermat est divisible par 641. La conjecture est désormais réfutée.
Aujourd'hui, on sait que les nombres de Fermat entre F5 et F32 sont tous composés, mais à partir de F33 c'est de nouveau l'inconnu, car on ne sait toujours pas si il est composé ou non.
Euler avait lui-meme posé une conjecture en 1772 : "Pour tout entier n strictement supérieur à 2, la somme de n – 1 puissances n-ièmes n'est pas une puissance n-ième". Cette conjecture ne fut infirmé qu'en 1966
Pour revenir à Fermat, on peut également parler de la dernière théorie de Fermat :
Il n'existe pas de nombres entiers strictement positifs x, y et z tels que : x^n + y^n = z^n dès que n est un entier strictement supérieur à 2.
Quand Fermat coucha sa théorie sur le papier, il avait précisé qu'il avait trouvé une démonstration merveilleuse pour la démontrer, mais la marge était trop petite pour l'écrire. Il a fallu trois siècles pour qu'un britannique, Andrew Wiles, le prouve en 1994
J'ajoute que la preuve d'Andrew Wiles fait appel à des théories et des outils mathématiques très "modernes" qui n'existaient pas à l'époque de Fermat. Si Fermat avait effectivement une preuve de sa conjecture, ce dont on est en droit de douter, ce n'était très certainement pas celle de Wiles.
Tu n'as pas inclus dans ta liste la "proposition mathématique". Elle a la même définition que lé théorème, la limite entre les deux est floue et plutôt arbitraire. De mon expérience, je comprends que le terme de "théorème" est plus prestigieux, et qu'on le réserve aux résultats majeurs d'une théorie mathématique.
En effet si on a su démontrer le théorème en question, on ne sait toujours pas le faire en se limitant aux outils connues de son époque. En plus le papier de recherche en question faisait 109 pages, même avec une marge très large ça rentre pas...
Moi je comprends le terme « divisible par 1 et par lui meme ». Ca veut dire quoi ?
Ps : je suis nul en math.
Je comprends PAS je voulais dire
5 divisé par 1 = 5
5 divisé par 5 = 1
On ne peut pas diviser 5 autrement que par ces deux opérations (sans mettre une virgule au résultat), 5 est donc un nombre premier, comme 3, 7, 11 ...
P.S je suis une quiche en maths aussi, les trois premiers commentaires m'ont provoqué un torticolis du bras gauche ^^ J'ai une question à poser sur les nombres premiers mais j'ose pas la poser... de peur qu'on me réponde, quelle misère!
Et réveillé mon cancer du bras droit. Réf à trouver ^^
J'ai quand même l'impression que la frontière entre TOUS ces termes est floue.
Merci pour toutes ces précisions !
Dans le genre probleme simple non resolu (et probablement sans grandes applications) il y a la conjecture de Collatz qui nous dit que si on prend n'importe quel nombre n et qu'on le remplace par (3n+1)/2 s'il est impair, ou par n/2 s'il est pair - et ainsi de suite - on retombera toujours sur "1" au bout d'un moment.
en.wikipedia.org/wiki/Collatz_conjecture
aucun contre exemple n'a ete trouve a ce jour.
Je suis on ne peut plus d'accord.
Et c'est encore pire en physique avec les théories, les lois, les règles...
Je vais être tatillon, la décomposition unique en facteurs premiers est valable pour tout entier naturel supérieur strictement à 1.
Pour la définition brute : Une entier A est divisible par un entier B si il existe un entier K tel que A = k*B
RSA, qui repose sur les nombres premiers, est certes un des premiers algorithmes de chiffrement asymétrique et est toujours utile et utilisé mais d'autres servent maintenant le même rôle et ne sont pas basés sur les nombres premiers mais sur des courbes elliptiques et logarithme discrets.
Les nombres premiers, en plus de permettre la connection https à SCMB, permettent aussi de décrire les couleurs (rgb), les notes de musique, ou de tenter de communiquer avec les extraterrestres (véridique).
Les usages sont larges !
Elle est tout autant valable à partir de 1 vu que 1 n'est pas un nombre premier et que le produit vide est égal à 1.
Théorème fondamental de l'arithmétique :
Tout entier strictement positif peut être écrit comme un produit de nombres premiers d'une unique façon, à l'ordre près des facteurs.
il n'y a pas de petit délateur de commentaires inutiles aujourd'hui ? Pourtant, des commentaires inutiles sur ce fil, j'en vois pas mal. Pondre des tartines sur le fait que 1/1 = 1 et 1x1 = 1, ou que N / 1 = N ou qu'un nombre premier n'est divisible que par 1 et par lui-même, çà va pas franchement révolutionner les mathématiques ni solutionner la proposition de Goldbach
Dire "qui a exactement 2 diviseurs" (la définition d'un nombre premier) exclut bien le 1; en revanche ca n'est pas équivalent à dire "divisible par 1 et par lui même" (même avec un ET au lieu d'un OU), car le nombre 1 est bien divisible par 1 ET par lui-même.