Le nombre 0,999... qui s’écrit avec une suite sans fin de 9 est exactement égal à 1, et non pas “presque égal”. L’égalité 0,999… = 1 est depuis longtemps acceptée par les mathématiciens, mais ce n’est que durant les dernières décennies qu’on a commencé à étudier comment les élèves la perçoivent.
On peut facilement s’en convaincre en faisant le calcul suivant : 1/3 =0,333… /// 3*1/3 = 3*0.333… /// 1 = 0.999…
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Les deux "preuves" de la vidéos sont totalement bancales.
Le nombre 1 est un nombre décimal, et tout nombre décimal admet une unique écriture décimale.
Le nombre 0,9999999... n'est pas un nombre décimal, car un nombre décimal s'écrit sous forme de fraction avec un entier relatif au numérateur et une puissance de 10 (finie) au dénominateur.
Aussi, écrire 1 tiers égal 0,333333... est un abus de notation. Cela sous entendrait que 1 tiers est décimal, or on peut très facilement prouver que 1 tiers n'est pas décimal (par l'absurde).
Donc la première "preuve" est fausse.
Pour la seconde, elle est aussi bancale car on manipule une suite infinie de décimales.
Si on pose x = 0,9999..., cela signifierait que x = somme des " 9 fois 10 exposant - i" pour i allant de 1 à l'infini. (c'est ici le gros problème dans cette définition).
Et donc 10 x serait égal à 9 plus somme des " 9 fois 10 exposant - i" pour i allant de 1 à l'infini.
Et 10 x - 9 serait égal à x.
Ensuite, on aurait bien x = 1.
Sauf que, là est la grande question : la définition de ce x peut-elle vraiment être posée de la sorte ?
Ce nombre x n'est PAS décimal, de par sa définition initiale. Et on ne peux pas dire que x est égal à 1 s'il n'est pas décimal.
(on ne peut mettre un symbole d'égalité que si les deux objets sont exactement de même nature et qu'ils présentent exactement les mêmes propriétés)
Ensuite, ayant été pendant 8 ans à la fac de mathématiques, j'ai 2 Master, un en maths fondamentales et un en enseignement des maths, et personne de la fac ne m'a JAMAIS montré ces "preuves". Ni pour en faire un cours, ni pour voir quelle est notre réaction.
En revanche, on m'a toujours bien dit de faire très attention quand on manipule des sommes infinies. Ça peut vite aller vers des affirmations plus que douteuses.
Salut Agathe,
Ta question centrale a une réponse, et elle n’est pas une matière à débat: depuis Cauchy, l’écriture 0,999… est *définie* comme la limite de la série, qui vaut 1. Oui, ta méfiance envers les sommes infinies est une bonne chose, mais elle concerne surtout les séries divergentes (une série géométrique ou chaque terme est 10 fois plus petit que le précédent est le cas le plus convergent qui soit). Et ta phrase “tout décimal admet une unique écriture” est ma foi tout simplement fausse, c’est même l’inverse du théorème: les décimaux sont exactement les nombres qui en admettent deux.
Si c'est une définition, ok, cela signifie que 0,999999... n'est pas un nombre, mais la limite d'une suite série. Et là, ok, l'égalité 1 = somme pour i allant de 1 à + infini de 9 fois 10 exposant - i est correcte.
Mais c'est uniquement parce que ce n'est qu'une limite.
Concernant l'unicité de l'écriture, je me suis "emballée" en effet. Je voulais le retirer de mon premier commentaire, mais j'ai été prise pas d'autres choses de la vie.
Il faut faire attention à ce qui est dit : c'est bien une définition, pas une propriété.
C'est bien parce que 0,999... est défini comme limite d'une série qu'on peut écrire l'égalité.
D’accord sur tout, sauf une nuance: la limite d’une série convergente de réels est un réel. Par exemple Pi aussi est défini comme une limite, et personne ne dit que Pi n’est pas un nombre, n’est ce pas ? Le fait que 0,999… soit défini comme la limite d’une série n’en fait pas "pas un nombre", ça serait faux d’écrire ça.
Donc 0,999… est un nombre et (par la définition qu’on vient de poser et sur laquelle tu es d’accord), c’est 1.