C'est là paradoxe de la flèche, effectivement une flèche doit passer par les milieux de chaque partie de sa trajectoire pour atteindre sa cible, ainsi 'elle ne devrait jamais l'atteindre, mais on a tiré une flèche et elle a atteint sa cible, les faits sont têtus et voila pourquoi c'est un paradoxe de Zenon...

À dire vrai, le paradoxe d'Achille et de la tortue traite des infinis, et pourquoi il ne peux jamais rattraper la tortue alors que dans un contexte réel, cela serait bien entendu possible. Étudier le mécanisme de plus près cependant nous donne ce paradoxe. La réponse et cependant qu'il existe des infinis plus grand que d'autre( comme par exemple vous aurez un infini de nombre entre 0 et 1, mais inévitablement plus entre 0 et 2). Merci Peter Van Houten :)

vivivi a écrit : Je me trompe peut être mais si on part du principe que quand la tortue parcours 10 cm le lièvre parcourt 1 m si les deux sont a une distance de 4 mètres au bout du 4eme pas le lièvre sera a l'ancienne position de la tortue... La tortue ayant fait 40 cm pour 4 pas
On peut dire que le lièvre sera a 40cm de la tortue. Au 5e pas de la tortue, si elle fait 10cm ; elle sera donc a 50 cm du lievre, et son 5e pas a lui lui fera rattraper la tortue puisqu'il sera 50cm devant la tortue ; il lui suffirait donc que 4,5 pas pour rattraper la tortue si elle en fait 5 et 5pas pour la dépasser de 50 cm....
Si quelqu'un peut confirmer ou réfuter ce que je viens de dire... Merci ^^ Afficher tout Ha ha ha, mais on ne dit pas qu'ils partent en même temps...

mathilde.espa a écrit : À dire vrai, le paradoxe d'Achille et de la tortue traite des infinis, et pourquoi il ne peux jamais rattraper la tortue alors que dans un contexte réel, cela serait bien entendu possible. Étudier le mécanisme de plus près cependant nous donne ce paradoxe. La réponse et cependant qu'il existe des infinis plus grand que d'autre( comme par exemple vous aurez un infini de nombre entre 0 et 1, mais inévitablement plus entre 0 et 2). Merci Peter Van Houten :) Afficher tout L'infini de nombre entre 0 et 1 et aussi grand que l'infinité de nombre entre 0 et 2 si on travail dans les réels.

Sans utiliser de mathématiques.

L'erreur de pensée dans ce paradoxe vient de l'idée que si on ajoute une infinité de fois une petite distance ça fera un nombre infini.

Ce qui serait vrai si on ajoutait à chaque fois la même chose.

Mais si ce qu'on ajoute diminue encore plus vite à chaque ajout... Le total sera une valeur finie.

Ou en d'autre terme, il faudrait un temps infini pour décrire l'opération étape par étape... Mais ça ne veux pas dire que le résultat final est infini.

Ce paradoxe montrant que le mouvement était impossible à été réfuté dans l'instant par un des philosophe de l'assemblé.
Qui s'est simplement mit à marcher, et a montré de façon irréfutable que le raisonnement était faux.

Mais étrangement on a toujours cherché une autre preuve...

Sragilesk a écrit : C'est parce que tu raisonnes avec la façon naturelle de sommer les termes d'une.
Tu prends la suite des sommes partielles Sn=a0+a1+...+an

Et tu regardes ce qu'ils se passe quand n tend vers l'infini.

Il faut faire attention à cette définition. Elle est loin d'être innocente. Car avec elle tu perds une propriété très importante de l'addition, la commutativité. En effet, le résultat de la somme d'un nombre infini de termes peut dépendre de l'ordre des termes dans celle ci.

Cette façon de sommer est une définition qui résulte d'un choix. Qui n'a pas des répercutions innocentes comme on l'a vu.

Comme tu le sais très bien les 3 suites qui permettent la démonstration que 1+2+3+...=-1/12 (Je les rappelle A=1-1+1-1+1-1...
B=1-2+3-4+5...
C=1+2+3...)
sont divergente et on ne peut donc pas leur associer une valeur réelle avec la méthode de sommation "naturelle".

Par contre il existe d'autres méthodes de sommation qui permet cela.
Pour A on peut utiliser la méthode de Cesaro.
Au lieu de prendre la limite des sommes partielles, on prend la limite de la moyenne des sommes partielles.

Ce qui nous permet d'obtenir A=1/2.
A noter que cette méthode ne change rien aux résultats obtenus avec la méthode naturelle. (c'est évidemment important pour qu'elle soit valable. Il y a d'autres conditions pour qu'elle le soit mais je ne suis pas sûre qu'il soit important d'en parler ici. Faisons confiance aux mathématiciens).

Malheureusement cette méthode ne nous permet pas de sommer B.

Pour B on pourra utiliser par exemple la méthode D'Abel, qui est un peu plus générique.

Cette méthode consiste à regarder la limite quand X tend vers 1 de la fonction f(X)=sum(an.X^n).
On obtient alors B=1/4.


Malheureusement les 2 méthodes de sommation précédente ne fonctionnent pas pour la somme qui nous intéresse.
Mais il en existe une qui fonctionne.

Cette méthode consiste à regarder si la fonction f(X)=sum(an/n^(X+1)) possède une valeur ou un prolongement analytique en -1.

Dans notre cas (an=n) on obtient la fonction appelé fonction zeta de Riemann. Et cette fonction a un prolongement analytique en -1 et elle vaut -1/12.
Il existe d'autres méthodes de sommation qui permettent d'obtenir cette valeur.



Tu vois donc que cette valeur n'a rien d'absurde.


Il faut te dire que rien dans la définition première de l'addition ne permet de donner une valeur à une somme d'une infinité de termes. Il faut donc faire un choix et définir une méthode de sommation qui te permette de donner une valeur à ces sommes. Et ce choix de définition est déterminant dans le fait de trouver une valeur ou non pour la somme. Afficher tout Petite précision pour garder la face: j'avais bien conscience de la différence de nature entre somme finie et série, mais j'avais simplifié pour vulgariser un peu. Ceci étant dit, je m'avoue vaincu, je ne connaissais pas les autres méthodes de sommation, et le prolongement analytique reste hors de ma portée pour l'instant. Des questions me viennent: la convergence par limite des sommes partielles entraîne toutes les autres? (Pour Césaro je le vois bien, pour les autres moins) Les résultats obtenus avec les autres méthodes coïncident avec la première dans le cas de convergence? Quel sens donner au résultat -1/12 ?

Oui toutes les autres méthodes de sommation permettent d'obtenir le résultat obtenu avec la méthode par somme partielle et le même résultat.

Tu peux te douter que quitte à trouver des méthodes de sommation autant qu'elles donnent toutes le même résultat pour une même somme. Ce serai embêtant autrement.

Je pense que ce paradoxe est résolu depuis la découverte de la mesure de Plank, qui représente la distance minimale possible dans l'espace-temps. Ce qui signifie que notre espace-temps est en quelque sorte pixelisé, et qu'une particule lorsqu'elle se déplace ne fait que passer d'une case à une autre. Il n'y a donc pas une infinité de points à parcourir pour un trajet donné.